cho a+b+c=3
CMR \(\frac{a^3}{b^3+8}+\frac{b^3}{c^3+8}+\frac{c^3}{a^3+8}>=\frac{1}{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 9 2017
áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{a^8}{b^3}+a^2b^3\ge2a^5;\frac{b^8}{c^3}+b^2c^3\ge2b^5;\frac{c^8}{a^3}+c^2a^3\ge2c^5\)
\(\Rightarrow\frac{a^8}{b^3}+\frac{b^8}{c^3}+\frac{c^8}{a^3}\ge2\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)\)
áp dụng bđt cô si ta có:
\(a^5+a^5+b^5+b^5+b^5\ge5\sqrt[5]{a^5.a^5.b^5.b^5.b^5}=5a^2b^3\)
\(b^5+b^5+c^5+c^5+c^5\ge5\sqrt[5]{b^5.b^5.c^5.c^5.c^5}=5b^2c^3\)
\(c^5+c^5+a^5+a^5+a^5\ge5\sqrt[5]{c^5.c^5.a^5.a^5.a^5}=5c^2a^3\)
\(\Rightarrow5\left(a^5+b^5+c^5\right)\ge5\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)\Rightarrow a^5+b^5+c^5\ge a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\)
\(\Rightarrow2\left(a^5+b^5+c^5\right)-\left(a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\right)\ge a^5+b^5+c^5\)
\(\frac{a^8}{b^3}+\frac{b^8}{c^3}+\frac{c^8}{a^3}\ge a^5+b^5+c^5\left(Q.E.D\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
NB
2
KB
18 tháng 3 2019
Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :
\(a^8+b^8+c^8\ge a^3b^3c^3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\ge a^3b^3c^3.\frac{ab+bc+ac}{abc}=a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\left(1\right)\)
Vì a ; b ; c > 0 , áp dụng BĐT phụ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\) , ta có :
\(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+a^4c^4\ge a^2b^2.b^2c^2+b^2c^2.c^2a^2+a^2b^2.c^2a^2=a^2c^2b^4+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2\)
\(=\left(abc^2\right)^2+\left(bca^2\right)^2+\left(acb^2\right)^2\ge abc^2.bca^2+bca^2.acb^2+abc^2.acb^2=a^3b^2c^3+b^3a^3c^2+c^3b^3a^2\)
\(=a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\)
Nên : \(a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\)
=> BĐT được c/m ( 2 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng
=> ĐPCM
18 tháng 3 2019
Ta có:
\(\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)(*)\)
Áp dụng BĐT AM - GM:
\(\left\{\begin{matrix} a^8+b^8\geq 2a^4b^4\\ b^8+c^8\geq 2b^4c^4\\ c^8+a^8\geq 2c^4a^4\end{matrix}\right.\Rightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)
Tiếp tục áp dụng AM - GM:
\(a^8+b^8+a^4b^4+c^8\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^{12}c^8}=4a^3b^3c^2\)
\(b^8+c^8+b^4c^4+a^8\geq 4b^3c^3a^2\)
\(c^8+a^8+c^4a^4+b^8\geq 4c^3a^3b^2\)
Cộng lại: \(3(a^8+b^8+c^8)+(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ca)\)
Mà \(a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\Rightarrow 4(a^8+b^8+c^8)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\)
hay \(a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\Rightarrow (*)\) (đúng)
Ta có đpcm
TN
22 tháng 1 2018
Từ \(4\left(a+b+c\right)=3abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}\cdot\frac{1}{b^3}\cdot\frac{1}{8}}=\frac{3}{2ab}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(2VT+\frac{3}{8}\ge\frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=\frac{9}{8}\)
\(\Leftrightarrow2VT\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow VT\ge\frac{3}{8}=VP\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
23 tháng 1 2018
thắng nguyễn , e tưởng Bất đẳng thức AM-AG khác cô si chứ
vd nhé cho a+b+c=3 ( dự đoán a=b=c=1
áp dụng BDT AM-AG
ta có
\(3a+3-2\ge2\sqrt[3]{9a}-2=6-2=4\)
tức là ở đề bài cho 1a mình + thêm 2a tức là a+2a=3a thì mình phải trừ đi 2( vì a=1) để cho BDT vẫn như cũ chứ @@
NN
1
28 tháng 8 2015
Ta áp dụng bất đẳng thức phụ sau đây liên tiếp: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0.\)
Khi đó \(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2\)
\(=a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\).
Vậy ta có \(a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\to\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
1 tháng 10 2017
easy
\(VT\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2c}+\frac{8}{\left(b+c\right)^2+\left(b+c\right)^2c}+\frac{8}{\left(c+a\right)^2+\left(c+a\right)^2b}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+\frac{\left(c+a\right)^2}{4}\)
\(=\frac{8}{\left(a+b\right)^2\left(c+1\right)}+\frac{8}{\left(b+c\right)^2\left(a+1\right)}+\frac{8}{\left(c+a\right)^2\left(b+1\right)}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+\frac{\left(c+a\right)^2}{4}\)
đến đây ghép rồi dùng cô si
bài này trong đề thi của tỉnh nào đó ở nước nào đó ở hành tinh nào đó năm 2016-2017