Cho a>c, b>c, c>0.
Cm: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 11 2017
a) Gõ link này nha: http://olm.vn/hoi-dap/question/1078496.html
LB
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\([\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}]^2\leq [c+(b-c)][(a-c)+c]=ab\)
\(\Rightarrow \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2c$
9 tháng 10 2017
a) vì ab > 0 nên chia cả hai vế Bất đẳng thức cho \(\sqrt{ab}\) ta được
\(\sqrt{\dfrac{c\left(a-c\right)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c\left(b-c\right)}{ab}}\le1\)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{c}{b}\left(\dfrac{a-c}{a}\right)}+\sqrt{\dfrac{c}{a}\left(\dfrac{b-c}{b}\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{a-c}{a}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{b-c}{b}\right)=1\)
vậy nên ta có đpcm
10 tháng 10 2017
\(\frac{2005}{\sqrt{2006} }+\frac{2006}{\sqrt{2005} }>\sqrt{2005}+\sqrt{2006} \)
<=>\(2005\sqrt{2005}+2006\sqrt{2006}>2005\sqrt{2006}+2006\sqrt{2005} \)
<=>\(\sqrt{2006}<\sqrt{2005} \)
26 tháng 7 2018
Áp dụng bất đẳng thức cô - si cho 2 số không âm ta có :
\(\sqrt{\dfrac{c\left(a-c\right)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{c\left(b-c\right)}{ab}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{a-c}{a}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{b-c}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{c\left(a-c\right)}}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{c\left(b-c\right)}}{\sqrt{ab}}\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\left(đpcm\right)\)
15 tháng 8 2019
Áp dụng bđt Bunhiacopxki :
\(\sqrt{c}\cdot\sqrt{a-c}+\sqrt{c}\cdot\sqrt{b-c}\le\sqrt{\left[\left(\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a-c}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{b-c}\right)^2\right]}\)
\(=\sqrt{\left(c+a-c\right)\left(c+b-c\right)}=\sqrt{ab}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{c}{a-c}=\frac{c}{b-c}\Leftrightarrow a-c=b-c\Leftrightarrow a=b\)
LH
7 tháng 8 2016
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}\right)^2+\left(\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)\le\left(\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)\le ab\)
Thấy: \(c\left(a-c+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow ac-\left(c^2-cb+c^2\right)\)
\(c< b\Rightarrow ac< ab\)
Do đó: \(ac-\left(c^2-cb+c^2\right)< ab\)
Vậy: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
13 tháng 6 2017
ta cần cm \(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le ab\)
mà theo bunhia \(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(c+a-c\right)=ab\)
sử dụng bđt bunhia
Áp dụng BDT Bu-nhi-a-cốp-xki:
\(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(a-c+c\right)=ab\\ \Rightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(\dfrac{c}{b-c}=\dfrac{a-c}{c}\)
\(\Rightarrow c^2=\left(b-c\right)\left(a-c\right)\\ \Rightarrow c^2=ab-ac-bc+c^2\\ \Rightarrow ab-ac-bc=0\)