Question

[I lay my love on you]

cho a,b không chí hết cho 3(a,b thuộc Z).Chứng minh rằng :a⁶-b⁶ chia hết cho 9

Answer 1

[ST]

Vì a không chia hết cho 3 => a có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k thuộc Z)

- Nếu \(a=3k+1\Rightarrow a^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1\) chia 3 dư 1

- Nếu \(a=3k+2\Rightarrow a^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+12k+1\) chia 3 dư 1

=> nếu a không chia hết cho thì a² chia 3 dư 1 (1)

CM tương tự ta có nếu b không chia hết cho 3 thì b² chia 3 dư 1 (2)

Từ (1) và (2) => \(a^2-b^2⋮3\) (3)

Lại có: \(a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)=\left(a^2-b^2\right)\left(a^4-2a^2b^2+b^4+3a^2b^2\right)=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)^2+3a^2b^2\right]\)

Từ (3) => \(\left(a^2-b^2\right)^2⋮3\)

Mà \(3a^2b^2⋮3\)

\(\Rightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+3a^2b^2⋮3\) (4)

Từ (3) và (4) => \(\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)^2+3a^2b^2\right]⋮3.3=9\) hay \(a^6-b^6⋮9\) (đpcm)