Question

[Van Thanh]

Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của BC và M là trung điểm của AD. BM cắt AC ở P, P' là điểm đối xứng của P qua M

a) Chứng minh rằng PA=P'D.Tính tỷ số \(\dfrac{PA}{PC}\) và\(\dfrac{AP}{AC}\)

b) Biết AB cắt CM tại Q, chứng minh rằng PQ//BC. Tính tỷ số \(\dfrac{PQ}{BC}\) và \(\dfrac{PM}{MB}\)

Answer 1

[Ngô Kim Tuyền]

A B C D M P P' Q

a) Ta có: M là trung điểm của AD (gt) (1)

Mà P' là điểm đối xứng của P qua M (gt)

\(\Rightarrow M\)cũng là trung điểm của PP' (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow APDP'\)là hình bình hành (3)

Từ (3) \(\Rightarrow\) PA = P'D (4)

Từ (3) \(\Rightarrow PA\) // P'D

\(\Rightarrow\) PC // P'D (5)

Mà DB = DC (6)

Từ (5), (6) \(\Rightarrow\) P'D là đường trung bình của \(\Delta BPC\)

\(\Rightarrow\) P'D = \(\dfrac{1}{2}PC\) (7)

Từ (4), (7) \(\Rightarrow\) PA = \(\dfrac{1}{2}PC\) (8)

\(\Leftrightarrow\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{1}{2}\)

Từ (8) \(\Rightarrow\) PC = 2PA (9)

Từ (4), (9) \(\Rightarrow\) PA + PC = PA + 2PA

\(\Leftrightarrow AC=3PA\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{PA}{AC}=\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{PA}{AC}=\dfrac{1}{3}\)