Question

[Núi non tình yêu thuần khiết]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(R=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+28\)

Answer 1

[Nhã Doanh]

\(R=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+28\)

\(R=x^2-\left(4xy+10x\right)+\left(4y^2-20y+25\right)+\left(y^2-2y+1\right)+2\)

\(R=x^2-2x\left(2y-5\right)+\left(2y-5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\)

\(R=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\ge2\)

Vậy: \(Min_R=2\Leftrightarrow x=-3;y=1\)

Answer 2

[Ngô Thị Thu Trang]

R= x² - 4xy+ 5y² + 10x - 22y + 28

= x² - 2x(2y-5) + (2y-5)² - (2y-5)² +5y² -22y+28

= (x-2y+5)² - 4y² +20y-25 + 5y² -22y +28

= (x-2y+5)² + y² -2y+3

=(x-2y+5)² +(y-1)² +2

Vì (x-2y+5)² ≥0 với mọi x,y

(y-1)² ≥ 0 với mọi y

Suy ra (x-2y+5)² + (y-1)²+2 ≥ 2

Dấu''='' xảy ra <=> x-2y+5=0 và y-1=0

<=> y=1; x=-3

Vậy R _min= 2 ⇔ y=1; x=3