Tìm nghiệm nguyên của PT : \(5\left(xy+yz+zx\right)=4xyz\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
2
5 tháng 7 2021
\(x=y=z=0\)là n0 của pt
xét x,y,z khác 0
\(\frac{5\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=4\)
\(5\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=4\)
\(< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}⋮4\)
ta có \(\left|x\right|\ge1< =>\frac{1}{\left|x\right|}\le1\)
tương tự với 2 cái còn lại
\(\frac{1}{\left|x\right|}+\frac{1}{\left|y\right|}+\frac{1}{\left|z\right|}\le3\)
\(\frac{1}{\left|x\right|}+\frac{1}{\left|y\right|}+\frac{1}{\left|z\right|}\ge\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)
\(< =>\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\le3\)
\(-3\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)
mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}⋮4\)từ -3 đến 3 chỉ có số 0 chia hết cho 4 mà x,y,z khác 0 (loại)
vậy bộ nghiệm duy nhất của pt là \(x=y=z=0\)
30 tháng 10 2023
trường hợp 10,5,2 và hoán vị của bộ này vẫn thỏa mãn đề bài mà nhỉ
4 tháng 9 2019
a) ĐKXĐ: \(x;y>0\)
Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{4y}{4xy}+\frac{4x}{4xy}=\frac{xy}{4xy}\)
\(\Rightarrow4x+4y-xy=0\)
\(\Rightarrow x\left(4-y\right)=-4y\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4y}{4-y}=\frac{-4\left(y-4\right)-16}{-\left(y-4\right)}\)
\(\Rightarrow x=4-\frac{16}{4-y}\)
Để x nguyên dương =>\(\hept{\begin{cases}\frac{16}{4-y}< 0\\\left(4-y\right)\inƯ\left(16\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow4-y\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8;\pm16\right\}\)
Tìm nốt y và thay vào tìm ra x
5 tháng 9 2019
a/ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)
Không mất tính tổng quát giả sử: \(x\ge y\)
\(\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)
\(\Leftrightarrow0< y\le8\)
\(\Rightarrow y=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)làm nốt
NT
1
3 tháng 12 2021
\(x^2+y^2+z^2+4xyz=2\left(xy+yz+zx\right)\\ \Leftrightarrow\left(x-y-z\right)^2=\left(1-x\right)4yz\ge0\\ \Leftrightarrow1-x\ge0\Leftrightarrow0< x\le1\\ \Leftrightarrow\left(x-y-z\right)^2=\left(1-x\right)4yz\le\left(1-x\right)\left(y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow x^2-2x\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2\le\left(1-x\right)\left(y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow x^2-2x\left(y+z\right)\le\left(y+z\right)^2\left(1-x-1\right)=-x\left(y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow x-2\left(y+z\right)\le-\left(y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow x\le\left(y+z\right)\left[2-\left(y+z\right)\right]\)
Đặt \(2-\left(y+z\right)=t\)
\(P=x\left(1-y\right)\left(1-z\right)\le x\left(\dfrac{1-y+1-z}{2}\right)^2=\dfrac{x\left[2-\left(y+z\right)\right]^2}{4}\\ \Leftrightarrow4P\le x\left[2-\left(y+z\right)\right]^2\le\left(y+z\right)\left[2-\left(y+z\right)\right]^3\\ \Leftrightarrow4P\le t^3\left(2-t\right)=\dfrac{27}{16}-\dfrac{\left(4t^2+4t+3\right)\left(2t-3\right)^2}{16}\)
Mà \(-\dfrac{\left(4t^2+4t+3\right)\left(2t-3\right)^2}{16}\le0\Leftrightarrow4P\le\dfrac{27}{16}\Leftrightarrow P\le\dfrac{27}{64}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4};y=z=\dfrac{1}{4}\)
NH
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 1 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left [\frac{9}{1-(xy+yz+xz)}+\frac{1}{4xyz}\right]\left [1-(xy+yz+xz)+9xyz\right ]\geq (3+\frac{3}{2})^2=\frac{81}{4}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{81}{4[1-(xy+yz+xz)+9xyz]}\) $(1)$
Áp dụng BĐT Am-Gm: \(xy+yz+xz=(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz\)
\(\Rightarrow 1-(xy+yz+xz)+9xyz\leq 1\) $(2)$
Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq \frac{81}{4}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{81}{4}\Leftrightarrow (x,y,z)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\)
NH
0
https://diendantoanhoc.net/topic/35339-pt-nghi%E1%BB%87m-nguyen-day/
xét x=y=z=0 là nghiệm của pt
xét x,y,z đều khác 0, ta có
\(5\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)=4\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}⋮4\)
Ta có \(\left|x\right|\ge1\Rightarrow\dfrac{1}{\left|x\right|}\le1\)
Tương tự, rồi cộng lại, ta có
\(\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\le3\)
Mà \(\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\ge\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\Rightarrow\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\le3\)
=> \(3\ge\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge-3\)
Mà từ 3 đến -3 chỉ có 0 chia hết cho 4, nhng x,y,z khác 0 => vô lí
Vậy pt có bộ nghiệm nguyên là x=y=z=0