Cho x y > 0 CMR1/x+1/y>=4/x+y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PH
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 9
Lời giải:
Với $x,y,z\in\mathbb{N}^*$ ta có:
$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$
Lại có:
Xét hiệu: $\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự ta có:
$\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}$
$\frac{z}{x+z}< \frac{z+y}{x+y+z}$
Cộng theo vế ta được:
$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(2)$
Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 9
Lời giải:
Với $x,y,z\in\mathbb{N}^*$ ta có:
$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$
Lại có:
Xét hiệu: $\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự ta có:
$\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}$
$\frac{z}{x+z}< \frac{z+y}{x+y+z}$
Cộng theo vế ta được:
$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(2)$
Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.
H
1
11 tháng 12 2016
Ta có:
\(\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)
\(\frac{y}{y+1}=1-\frac{y}{y+1}\)
\(\frac{z}{z+4}=1-\frac{4}{z+4}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\)
\(\le\left[3-\left(\frac{4}{x+y+2}+\frac{4}{z+4}\right)\right]\le\left(3-\frac{16}{x+y+z+6}\right)=3-\frac{16}{6}=\frac{1}{3}\)
NL
0
DT
1
S
2 tháng 9 2017
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
TS
2
10 tháng 12 2017
Ta co: \(\hept{\begin{cases}x^2-y+\frac{1}{4}=0\\y^2-x+\frac{1}{4}=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2-x+\frac{1}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}=0\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{2}=0\\y-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)
Vậy \(x=y=\frac{1}{2}\)
10 tháng 12 2017
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2-y+\frac{1}{4}=0\\y^2-x+\frac{1}{4}=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{2}=0\\y-\frac{1}{2}=0\end{cases}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)
Vậy \(x=y=\frac{1}{2}\)
16 tháng 5 2023
=>\(\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{4}{x+y}\)
=>x^2+2xy+y^2-4xy>=0
=>(x-y)^2>=0(luôn đúng)
LT
9
C
23 tháng 9 2019
Đặt \(x=\sqrt{10}sin^2a\); \(y=\sqrt{10}cos^2a\)
(Lúc đó: \(x+y=\sqrt{10}\left(sin^2a+cos^2a\right)=\sqrt{10}\))
Lúc đó: \(K=\left(1+100sin^8a\right)\left(1+100cos^8a\right)\)
\(=10^4sin^8acos^8a+200sin^4acos^4a-400sin^2acos^2a+101\)
Đặt \(sin^2acos^2a=l\)
\(\Rightarrow K=f\left(l\right)=10^4l^4+200l^2-400l+101\)
\(\Rightarrow K_{min}=f\left(\frac{1}{5}\right)=45\)
Xét hiệu:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{4}{x+y}=\dfrac{xy+y^2+x^2+xy-4xy}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{x^2+y^2-2xy}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\RightarrowĐPCM\)