Question

[poppy Trang]

Cho 0* < x <90*. Chứng minh đẳng thức sau:

\(\dfrac{\sin x+\cos x-1}{1-\cos x}=\dfrac{2\cos x}{\sin x-\cos x+1}\)

Answer 1

[ngonhuminh]

tam thoi cho ban dung

<=>(sinx+cosx-1)/(1-cosx+sinx+cosx-1)=(2cosx)/(sinx-cosx+1+2cosx)

<=>(sinx+cosx-1)/sinx=2cosx/(sinx+cosx+1)

x€(0;π/2)=> sinx ≠0; sinx+cosx+1≠0

<=>(sinx+cosx-1)(sinx+cosx+1)=2sinxcosx

<=>(sinx+cosx)^2-1=2sinxcosx

<=>(sin^2x+cos^2+2sinxcos)-1=2sinxcosx

<=>1+2sinxcosx-1=2sinxcosx

<=>2sinxcosx=2sinxcosx

moi bd <=>=> ban dung =>dpcm

Answer 2

[Mysterious Person]

ta có : \(0^o< x< 90^o\) \(\Rightarrow sinx-cosx+1>0\) và ta luôn có \(1-cosx>0\) \(\Rightarrow\) biểu thức trên được xác định

\(\Rightarrow\dfrac{sinx+cos-1}{1-cosx}=\dfrac{2cosx}{sinx-cos+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx-1\right)\left(sinx-cosx+1\right)=2cosx\left(1-cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+\left(cosx-1\right)\right)\left(sinx-\left(cosx-1\right)\right)=2cosx\left(1-cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow sin^2x-\left(cosx-1\right)^2=2cosx-2cos^2x\)

\(\Leftrightarrow sin^2x-cos^2x+2cosx-1=2cosx-2cos^2x\)

\(\Leftrightarrow sin^2x-cos^2x+2cosx-sin^2x-cos^2x=2cosx-2cos^2x\)

\(\Rightarrow2cosx-2cos^2x=2cosx-cos^2x\) \(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)