Cho a b>0 và a+b=1 Cm 1/a+1+1/b+1>=4/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
22 tháng 3 2017
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)
1 dòng :)
NN
27 tháng 3 2017
Ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{a+b+2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\frac{3}{ab+2}\left(1\right)\)
Mà \(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(1\ge2\sqrt{ab}\right)\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
Thay vào \(\left(1\right)\) ta được:
\(\frac{3}{ab+2}\ge\frac{3}{\frac{1}{4}+2}=\frac{3}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{3}\)
Hay \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\) (Đpcm)
NB
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2019
a/ Ta có \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4\Rightarrow a+b\ge2\)
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=ab+\left(a+b\right)+1=a+b+2\ge2+2=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
b/ Áp dụng BĐT \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{1}{ab}\ge4\)
Lại áp dụng BĐT: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\) cho 2 số dương ta được:\(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{a}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{ab}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(1+4\right)^2=\dfrac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
TN
8 tháng 8 2017
a)\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}+c^2-c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1+1\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)
\(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}{2}>\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)
c)\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)
Khi a=b
NN
0
LN
1
HD
3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2019
Theo BĐT Holder ta có:
\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a.1.1+b.1.1+c.1.1\right)^3\)
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\)
\(\Rightarrow P=\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}.3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=\left(a+b+c\right)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
KB
11 tháng 3 2019
C/m : \(a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\)
Giả sử đpcm là đúng , ta có :
\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right).c^2+c^3\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3\left(a^2+2ab+b^2\right).c+3ac^2+3bc^2\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3ab\left(a+b\right)+\left(3a^2+6ab+3b^2\right).c+3ac^2+3bc^2\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(3a^2c+3ac^2\right)+\left(3bc^2+3b^2c\right)+3ab\left(a+b\right)+6abc\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3ac\left(a+c\right)+3bc\left(b+c\right)+3ab\left(a+b\right)+6abc\left(1\right)\)
Do a ; b ; c > 0 , áp dụng BĐT Cô - si , ta có :
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge6abc\)
Từ ( 1 ) \(\Rightarrow6\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3ac\left(a+c\right)+3bc\left(b+c\right)+3ab\left(a+b\right)\left(3\right)\)
Áp dụng BĐT phụ \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) ( tự c/m ) , ta có :
\(3\left(a^3+c^3\right)\ge3ac\left(a+c\right)\) ; \(3\left(b^3+c^3\right)\ge3bc\left(b+c\right);3\left(a^3+b^3\right)\ge3ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow6\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3ab\left(a+b\right)+3ac\left(a+c\right)+3bc\left(b+c\right)\left(4\right)\)
( luôn đúng )
Từ ( 3 ) ; ( 4 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}.\frac{9}{a+b+c}=\left(a+b+c\right)^2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
PD
1
25 tháng 12 2018
Sửa đề: \(a+b+c\le6\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
đpcm