K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 6 2018

câu 1:

\(a^2+1\ge2a\\ b^2+1\ge2b\\ c^2+1\ge2c\\ a^2+b^2\ge2ab\\ b^2+c^2\ge2bc\\ a^2+c^2\ge2ac\\ \Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ac\right)=2.6=12\\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

6 tháng 6 2018

Câu 2)
\(P=\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{4}{xy}+2xy\)

\(P=\dfrac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}+\dfrac{1}{4xy}+\dfrac{1}{8xy}+\dfrac{29}{8xy}+2xy\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\left(\dfrac{1}{8xy}+2xy\right)+\dfrac{29}{8xy}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) và bất đẳng thức Cô-si, ta được:

\(P\ge\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right)+2\sqrt{\dfrac{1}{8xy}.2xy}+\dfrac{29}{2\left(x+y\right)^2}\)

\(x+y\le1\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}.4+2.\dfrac{1}{2}+\dfrac{29}{2}=\dfrac{35}{2}\)

Vậy GTNN của P = \(\dfrac{35}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{2}.\)

Chúc bạn học tốt!

NV
22 tháng 2 2021

Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

22 tháng 6 2018

Ta chứng minh BĐT

( a + b + c ) ( 1 a + 1 b + 1 c ) ≥ 9 ( * ) ( * ) < = > 3 + ( a b + b a ) + ( b c + c b ) + ( c a + a c ) ≥ 9

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:

a b + b a ≥ 2 b c + c b ≥ 2 c a + a c ≥ 2 =>(*) đúng

 

= > 9 a + b + c ≤ 1 a + 1 b + 1 c ≤ 3 = > a + b + c ≥ 3

Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có  1 + b 2 ≥ 2 b

Ta có: a 1 + b 2 = a − a b 2 1 + b 2 ≥ a − a b 2 2 b = a − a b 2 ( 1 )

 

Tương tự ta có: 

b 1 + c 2 ≥ b − b c 2 ( 2 ) c 1 + a 2 ≥ c − c a 2 ( 3 )

 

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 ≥ a + b + c − 1 2 ( a b + b c + c a ) = > a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 + 1 2 ( a b + b c + c a ) ≥ a + b + c ≥ 3

 

NV
13 tháng 8 2021

Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)

Sửa đề: 1+a^2;1+b^2;1+c^2

\(\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+c+ac}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)

\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}\right)\)

\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\)

=>\(A< =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{3}{2}\)

19 tháng 9 2016

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg