Cho a.b \(\ge0\) và \(a^2+b^2=1\). Tìm GTNN của biểu thức:
A = \(\left(1+a\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)+\left(1+b\right)\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 12 2021
\(P=2+\dfrac{2}{b}+a+\dfrac{a}{b}+2+\dfrac{2}{a}+b+\dfrac{b}{a}=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)+\left(b+\dfrac{1}{2b}\right)+\left(\dfrac{3}{2a}+\dfrac{3}{2b}\right)+4\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{a.\dfrac{1}{2a}}+2\sqrt{b.\dfrac{1}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{3}{2a}.\dfrac{3}{2b}}+4=6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\)
Ta lại có: \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2.b^2}=2ab\left(BĐT.Cauchy\right)\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge4ab\Rightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\sqrt{ab}}\ge6+2\sqrt{2}+\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=6+5\sqrt{2}\)
\(minP=6+5\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
DT
Đỗ Thanh Hải
CTVVIP
6 tháng 4 2021
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai lớp 9A; 9B của một trường Trung học cơ sở có 90 học sinh. Trong đợt quyên góp sách vở ủng hộ học sinh vùng lũ lụt, mỗi bạn lớp 9A ủng hộ 3 quyển, mỗi bạn lớp 9B ủng hộ 2 quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp biết rằng cả hai lớp ủng hộ được 222 quyển sách và vở.
Giải
Gọi số học sinh lớp 9A là x (x là số tự nhiên, x < 90)
=> Số học sinh lớp 9B: 90 - x (học sinh)
Số sách và vở lớp 9A quyên góp: 3x (quyển)
Số sách và vở lớp 9B ủng hộ : 2(x-90) (quyển)
Do cả hai lớp ủng hộ được 222 quyển sách và vở nên ta có phương trình
3x + 2(x-90) = 222
\(\Leftrightarrow3x+2x-180=222\)
\(\Leftrightarrow5x=402\)
(đoạn này thì ra lẻ nên e ko tính đc ạ)
DT
Đỗ Thanh Hải
CTVVIP
6 tháng 4 2021
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai lớp 9A; 9B của một trường Trung học cơ sở có 90 học sinh. Trong đợt quyên góp sách vở ủng hộ học sinh vùng lũ lụt, mỗi bạn lớp 9A ủng hộ 3 quyển, mỗi bạn lớp 9B ủng hộ 2 quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp biết rằng cả hai lớp ủng hộ được 222 quyển sách và vở.
Giải
Gọi số học sinh lớp 9A là x (x là số tự nhiên, x < 90)
=> Số học sinh lớp 9B: 90 - x (học sinh)
Số sách và vở lớp 9A quyên góp: 3x (quyển)
Số sách và vở lớp 9B ủng hộ : 2(90-x) (quyển)
Do cả hai lớp ủng hộ được 222 quyển sách và vở nên ta có phương trình
3x + 2(90-x) = 222
=> 3x + 180 - 2x = 222
=> x + 180 = 222
=> x = 42 (tmđk)
Vậy lớp 9A có 42 học sinh
lớp 9B có 90 - 40 = 48 học sinh
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 2 2021
\(\dfrac{1}{\left(1+\sqrt{ab}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+\sqrt{ab}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{b}{a}\right)}=\dfrac{1}{1+ab}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{\left(1+c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+d\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+cd}\)
\(\Rightarrow B\ge\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+cd}=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{ab}{1+ab}=1\)
\(B_{min}=1\) khi \(a=b=c=d=1\)
28 tháng 2 2021
Áp dụng BĐT phụ ta có:
\(B\ge\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+cd}=\dfrac{ab+cd+2}{1+ab+cd+abcd}=1\)
Vậy GTNN của B bằng 1 <=> a=b=c=d=1
18 tháng 8 2021
a: Ta có: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{3\sqrt{x}+1}{x-1}\)
\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\dfrac{2x-3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
18 tháng 8 2021
b: Ta có: \(\left(\sqrt{x}+1\right)\cdot A=x\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\cdot\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=x\)
\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\left(loại\right)\)
1 tháng 9 2021
a: Ta có: \(A=\left(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}-2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\dfrac{1}{x-1}\)
\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1+\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{1}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+2}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{1}\)
\(=x+2\sqrt{x}+1\)
30 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT AM - GM ta có ;
\(A=\left(a+1\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)+\left(b+1\right)\left(1+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+2\)
\(=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\left(a+\frac{1}{2a}\right)+\left(b+\frac{1}{2b}\right)+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+2\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{a.\frac{1}{2a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{2b}}+2\sqrt{\frac{1}{2a}.\frac{1}{2b}}+2\)
\(=4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge4+2\sqrt{2}+\frac{1}{\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}\)
\(=4+3\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Chúc bạn học tốt !!!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 3 2022
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc\left(a^2+1\right)^2\left(b^2+1\right)^2\left(c^2+1\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{abc}}\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3}}=9\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{\left(a+b+c\right)^3}}\ge9\sqrt[3]{\dfrac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{2\left(a+b+c\right)^2}}\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số \(a^2;b^2;c^2\) luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với \(\dfrac{4}{9}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là \(a^2;b^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2-\dfrac{4}{9}\right)\left(b^2-\dfrac{4}{9}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+\dfrac{16}{81}\ge\dfrac{4}{9}a^2+\dfrac{4}{9}b^2\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\dfrac{13}{9}a^2+\dfrac{13}{9}b^2+\dfrac{65}{81}\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{5}{9}\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{5}{9}\right)\left(c^2+1\right)\)
\(=\dfrac{13}{9}\left(a^2+b^2+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}\right)\left(\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+c^2+\dfrac{1}{9}\right)\)
\(\ge\dfrac{13}{9}\left(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{2}{3}b+\dfrac{2}{3}c+\dfrac{1}{9}\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge9\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{13}{9}\left(\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{9}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)^2}}=9\sqrt[3]{\dfrac{13}{18}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9\left(a+b+c\right)}\right)^2}\)
\(P\ge9\sqrt[3]{\dfrac{13}{18}\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9.2}\right)^2}=\dfrac{13}{2}\)
\(P_{min}=\dfrac{13}{2}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
TL
17 tháng 3 2022
Thầy cho em hỏi cơ sở để ta nghĩ ra dòng
\(\left(a^2-\dfrac{4}{9}\right)\left(b^2-\dfrac{4}{9}\right)\ge0\) này là gì ạ?
Theo cá nhân em thấy cách giải này hay và dễ hiểu, và có lẽ cũng dựa vào điểm rơi nhưng hình như lời giải chưa tự nhiên lắm thì phải ạ. Thầy có cách nào nữa không thầy? Em cảm ơn ạ.
Sửa: \(a;b>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=\left(a+1\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)+\left(b+1\right)\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\)
\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}+2\)
\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\left(a+\dfrac{1}{2a}\right)+\left(b+\dfrac{1}{2b}\right)+\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+2\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{2a}}+2\sqrt{b\cdot\dfrac{1}{2b}}+2\sqrt{\dfrac{1}{2a}\cdot\dfrac{1}{2b}}+2\)
\(=4+2\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)\(\ge4+2\sqrt{2}+\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}\)
\(=4+3\sqrt{2}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)