Cho x+y=2 tìm Min B=X3 + y3+XY
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 12 2021
Lời giải:
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ thì:
$x^3+y^3+xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)+xy=x^2-xy+y^2+xy$
$=x^2+y^2=\frac{1}{2}[(x+y)^2+(x-y)^2]\geq \frac{1}{2}(x+y)^2=\frac{1}{2}$
Vậy GTNN của biểu thức là $\frac{1}{2}$. Giá trị này đạt tại $x+y=1$ và $x-y=0$
$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$
T
0
\(B=x^3+y^3+xy\)
\(B=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(B=2x^2-2xy+2y^2+xy\)
\(B=2x^2-xy+2y^2\)
Ta có:\(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2};xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(tự cm)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2;xy\le1\)
\(\Rightarrow B\ge3\)
"="<=>x=y=1
Ta có:
\(B=x^3+y^3+xy\)
\(\Leftrightarrow B=x^3+\left(2-x\right)^3+x\left(2-y\right)\) ( Vì x + y = 2)
\(\Leftrightarrow B=x^3+8-12x+6x^2-x^3+2x-x^2\)
\(\Leftrightarrow B=5x^2-10x+8\)
\(\Leftrightarrow B=5(x^2-2x+\dfrac{8}{5})\)
\(\Leftrightarrow B=5(x^2-2x+1+\dfrac{3}{5})\)
\(\Leftrightarrow B=5(x^2-2x+1)+3\)
\(\Leftrightarrow B=5(x-1)^2+3\)
Ta thấy:
\(5(x-1)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\)\(5(x-1)^2+3\ge3\)
hay B \(\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
Vậy Min B = 3 tại x =y= 1