Cho \(\frac{2}{1}+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n}\)=\(\frac{p}{q}\) (p, q \(\inℤ\)) với n thuộc N , n\(\ge\)4. Chứng minh \(p\)\(⋮8\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này bạn chỉ cần chuyển vế biến đổi thôi là được , mình làm mẫu câu 2) :
\(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2n+b^2m}{mn}-\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(a^2n+b^2m\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right).mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2mn+\left(bm\right)^2+\left(an\right)^2+b^2mn-a^2mn-2abmn-b^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(bm-an\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bm=an\)
Câu 3) áp dụng câu 2) để chứng minh dễ dàng hơn, ghép cặp 2 .
Số shạng tổng quát là \(\frac{1}{\left(2n\right)^2}.\) mới phải đó bạn ơi.
\(A=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{2}{\left(2n\right)^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+...+\frac{1}{\left(2n-1\right)2n}\right)=.\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4n}< \frac{1}{4}.\)
Vậy \(A< \frac{1}{4}\)
Đặt \(A=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{n}\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n}\right)\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}-\frac{1}{4n}< \frac{1}{4}\)
Vậy \(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}< \frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
\(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}< \frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+...+\frac{1}{\left(2n-2\right)2n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}< \frac{2}{2.4}+\frac{2}{4.6}+\frac{2}{6.8}+...+\frac{2}{\left(2n-2\right)2n}\)\(.\frac{1}{2}\) Ta gọi là A
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+...+\frac{1}{\left(2n-2\right)2n}\right)\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2n}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n.2}\)
\(\Rightarrow M< \frac{1}{4}-\frac{1}{2n.2}< \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow M< \frac{1}{4}\left(Đpcm\right)\)
\(\)