Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta:x-y=0\). Đường trò (C) có bán kính \(R=\sqrt{10}\) cắt \(\Delta\) tại 2 điểm A, B tại hai điểm sao cho \(AB=4\sqrt{2}\). Tiếp tuyết của (C) tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc trục Oy. Viết phương trình đường tròn (C)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(C) là đường tròn tâm \(I\left(2;-3\right)\) bán kính \(R=5\)
\(\overrightarrow{DI}=\left(1;-4\right)\Rightarrow ID=\sqrt{17}< R\Rightarrow\) D là 1 điểm thuộc miền trong đường tròn
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên \(\Delta\Rightarrow\) H là trung điểm AB
Theo định lý Pitago: \(AH^2=IA^2-IH^2=R^2-IH^2\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}AB^2=25-IH^2\)
\(\Rightarrow AB\) đạt min khi và chỉ khi IH đạt max
Mặt khác trong tam giác vuông IDH, theo định lý đường xiên-đường vuông góc ta luôn có:
\(IH\le ID\Rightarrow IH_{max}=ID\) khi H trùng D \(\Leftrightarrow\Delta\perp ID\)
\(\Rightarrow\) đường thẳng \(\Delta\) nhận (1;-4) là 1 vtpt
Phương trình \(\Delta\):
\(1\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-4y+3=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-4\\c=3\end{matrix}\right.\)
\(\left(C\right):x^2+y^2+4x-6y-12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(C\right):\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=25\)
\(\Rightarrow I=\left(-2;3\right)\) là tâm đường tròn, bán kính \(R=5\)
Kẻ IH vuông góc với AB.
\(\Rightarrow IH=\sqrt{R^2-AH^2}=\sqrt{5^2-\dfrac{1}{4}.50}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)
Đường thẳng AB có dạng: \(ax+by-2a=0\left(a^2+b^2\ne0\right)\)
Ta có: \(d\left(I;AB\right)=\dfrac{\left|-2a+3b-2a\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow7a^2-48ab-7b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=7b\\b=-7a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}AB:7x+y-14=0\\AB:x-7y-2=0\end{matrix}\right.\)