Question

[Le Minh Hoang]

Cho a,b,b là các số thực dương thỏa mãn a²+b²+c²=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có:

\(P=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=\frac{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}{abc}\)

Xét tử số:

\(\text{TS}=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\)

\(\Rightarrow \text{TS}^2=a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4+2(a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{\begin{matrix} a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2\\ b^4c^4+c^4a^4\geq 2a^2b^2c^4\\ c^4a^4+a^4b^4\geq 2a^4b^2c^2\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2\)

Do đó:

\(\text{TS}^2\geq 3(a^2b^4c^2+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2)=3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=3a^2b^2c^2\)

\(\Rightarrow \text{TS}\geq \sqrt{3}abc\)

\(\Rightarrow P\geq \sqrt{3}\)

Vậy \(P_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Answer 2

[Dong tran le]

Cách khác:

\(P^2=\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2}+\dfrac{c^2a^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\)

CMTT\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2}+\dfrac{a^2c^2}{b^2}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow P^2\ge3\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\)

Dấu"=" xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=c=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)