Cho \(f\left(x\right)=x^2+x\)
Tính \(\dfrac{1}{f\left(1\right)}+\dfrac{1}{f\left(2\right)}+\dfrac{1}{f\left(3\right)}+...+\dfrac{1}{f\left(2014\right)}+\dfrac{1}{f\left(2015\right)}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn kiểm tra lại đề, \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3}{1-3x-3x^2}\) hay \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3}{1-3x+3x^2}\)
Lời giải:
Ta thấy: \(f(x)=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}\Rightarrow f(1-x)=\frac{(1-x)^3}{1-3(1-x)+3(1-x)^2}=\frac{(1-x)^3}{3x^2-3x+1}\)
\(\Rightarrow f(x)+f(1-x)=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}+\frac{(1-x)^3}{3x^2-3x+1}=\frac{x^3+(1-x)^3}{3x^2-3x+1}=1\)
Do đó:
\(f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2016}{2017}\right)=1\)
\(f\left(\frac{2}{2017}\right)+f\left(\frac{2015}{2017}\right)=1\)
............
\(f\left(\frac{1008}{2017}\right)+f\left(\frac{1009}{2017}\right)=1\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow A=f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+f\left(\frac{3}{2017}\right)+...f\left(\frac{2015}{2017}\right)+f\left(\frac{2016}{2017}\right)\)
\(=\underbrace{1+1+1...+1}_{1008}=1008\)
Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;π2][0;π2]thoả mãn f(x)=f′(x)−2cosxf(x)=f′(x)−2cosx. Biết f(π2)=1f(π2)=1, tính giá trị f(π3)f(π3)
A. √3+1/2 B. √3−1/2 C. 1−√3/2 D. 0
Mấy câu này bạn cần giải theo kiểu trắc nghiệm hay tự luận nhỉ?
Do \(\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{f\left(x\right)-2}{x-3}\) hữu hạn \(\Rightarrow f\left(x\right)-2=0\) có nghiệm \(x=3\)
Hay \(f\left(3\right)-2=0\Rightarrow f\left(3\right)=2\)
\(\Rightarrow I=\lim\limits_{x\rightarrow3}\left(\dfrac{f\left(x\right)-2}{x-3}\right).\dfrac{1}{\sqrt{5f\left(x\right)+6}+1}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{\sqrt{5.f\left(3\right)+6}+1}\)
\(=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{\sqrt{5.2+6}+1}=\dfrac{1}{20}\)
Từ GT ta lấy tích phân 2 vế cận từ 0 đến 1 ; sẽ được :
\(\int\limits^1_0f\left(x+1\right)dx+\int\limits^1_03f\left(3x+2\right)dx-\int\limits^1_04f\left(4x+1\right)dx-\int\limits^1_0f\left(2^x\right)dx=\int\limits^1_0\dfrac{3dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}\left(1\right)\)
\(\int\limits^1_0\dfrac{3dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=\int\limits^1_03\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\right)dx\) =
\(2\left[\left(x+2\right)\sqrt{x+2}-\left(x+1\right)\sqrt{x+1}\right]\dfrac{1}{0}\) = \(2+6\sqrt{3}-8\sqrt{2}\left(2\right)\)
Dễ thấy : \(\int\limits^1_0f\left(x+1\right)dx=\int\limits^2_1f\left(t\right)dt=\int\limits^2_1f\left(x\right)dx\)
\(\int\limits^1_03f\left(3x+2\right)dx=\int\limits^5_2f\left(t\right)dt=\int\limits^5_2f\left(x\right)dx\) (3)
\(\int\limits^1_04f\left(4x+1\right)=\int\limits^5_1f\left(t\right)dt=\int\limits^5_1f\left(x\right)dx\left(4\right)\)
\(\int\limits^1_0f\left(2^x\right)dx=\int\limits^2_1\dfrac{f\left(t\right)dt}{tln2}=\dfrac{1}{ln2}.\int\limits^2_1\dfrac{f\left(t\right)dt}{t}=\dfrac{1}{ln2}.\int\limits^2_1\dfrac{f\left(x\right)dx}{x}\) (5)
Thay (2) ; (3) ; (4) ; (5) vào (1) ta được :
\(\int\limits^2_1f\left(x\right)dx+\int\limits^5_2f\left(x\right)dx-\int\limits^5_1f\left(x\right)dx-\dfrac{1}{ln2}.\int\limits^2_1\dfrac{f\left(x\right)dx}{x}=2+6\sqrt{3}-8\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\int\limits^2_1\dfrac{f\left(x\right)dx}{x}=\left(2+6\sqrt{3}-8\sqrt{2}\right)ln2\)
Lời giải:
Ta có:
\(f(x)=x^2+x\Rightarrow \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)
Do đó:
\(\frac{1}{f(1)}=1-\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{f(2)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{f(3)}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)
......
\(\frac{1}{f(2014)}=\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\)
\(\frac{1}{f(2015)}=\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\)
Cộng theo vế:
\(\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(2)}+\frac{1}{f(3)}+...+\frac{1}{f(2014)}+\frac{1}{f(2015)}=1-\frac{1}{2016}\)
\(=\frac{2015}{2016}\)