cho x,y,z là các số lớn hơn hoặc bằng 1
CM:\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
B
11 tháng 4 2017
Ta có: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+y^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
BĐT cuối đúng vì x.y > 0 => đpcm
4 tháng 3 2018
\(\left(x^2-y^2\right)^2=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y>0\\x+y< 1\end{matrix}\right.\)=> dccm sai = > người ra đề sai họăc người chép đề sai ;
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 12 2018
\(VT=\dfrac{\left(\dfrac{1}{z}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{y}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Dâu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Hmm trong đề làm gì có z vậy bạn ?????
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1+xy-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{1+xy-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-x\left(x-y\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(-x+y-xy^2+x^2y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)\ge0\left(\forall x;y\ge0\right)\)
Vậy \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)