Question

[Nguị Ngọc Bích]

giúp mình

a) cho các số thực dương x,y , z thỏa mãn x+y+z=4 cmr ≥1

b) 1. cho x,y,z ϵR, chứng minh (x+y+z)\(^{^{ }2}\) ≤3(x\(^{^{ }2}\)+y\(^{^{ }2}\)+z\(^{^{ }2}\))

2.cho các số x,y,zlớn hơn 0thaor mãn x+y+z=12

tìm GTLN của biểu thức A=\(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}\) +\(\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}\) +\(\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

a) Bạn xem lại đề bài hộ mình.

b) Thực hiện biến đổi tương đương:

\((x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\leq 3(x^2+y^2+z^2)\)

\(\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\leq 2(x^2+y^2+z^2)\)

\(\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\)

BĐT trên luôn đúng do \(\left\{\begin{matrix} (x-y)^2\geq 0\\ (y-z)^2\geq 0\\ (z-x)^2\geq 0\end{matrix}\right., \forall x,y,z\in\mathbb{R}\)

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:
\(A=\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}+\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}+\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\)

\(\Rightarrow 2A=\sqrt{16x+8\sqrt{x}+4}+\sqrt{16y+8\sqrt{y}+4}+\sqrt{16z+8\sqrt{z}+4}\)

\(=\sqrt{18x-2(\sqrt{x}-2)^2+12}+\sqrt{18y-2(\sqrt{y}-2)^2+12}+\sqrt{18z-2(\sqrt{z}-1)^2+12}\)

\(\Rightarrow 2A\leq \sqrt{18x+12}+\sqrt{18y+12}+\sqrt{18z+12}(1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((\sqrt{18x+12}+\sqrt{18y+12}+\sqrt{18z+12})^2\leq [(18x+12)+(18y+12)+(18z+1)](1+1+1)\)

\(=3[18(x+y+z)+36]=756\)

\(\Rightarrow \sqrt{18x+12}+\sqrt{18y+12}+\sqrt{18z+12}\leq \sqrt{756}=6\sqrt{21}(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow 2A\leq 6\sqrt{21}\Rightarrow A\leq 3\sqrt{21}\)

Vậy \(A_{\max}=3\sqrt{21}\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\)