Cho M=\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\)với a;b;c >0
a)CM: M>1
b)CM: M ko là số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
5 tháng 8 2021
\(TH1:a+b+c+d\ne0\)
\(\dfrac{2a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+2b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+2c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+2d}{d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2a+b+c+d}{a}-1=\dfrac{a+2b+c+d}{b}-1=\dfrac{a+b+2c+d}{c}-1=\dfrac{a+b+c+2d}{d}-1\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+d}{d}\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\)
\(M=\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{b+c}{d+a}+\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{a+d}{b+c}\)
\(=1+1+1+1\)
\(=4\)
\(TH2:a+b+c+d=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-\left(c+d\right)\\b+c=-\left(d+a\right)\\c+d=-\left(a+b\right)\\d+a=-\left(b+c\right)\end{matrix}\right.\)
\(M=\dfrac{a+b}{c+d}+\dfrac{b+c}{d+a}+\dfrac{c+d}{a+b}+\dfrac{a+d}{b+c}\)
\(=-\dfrac{c+d}{c+d}-\dfrac{d+a}{d+a}-\dfrac{a+b}{a+b}-\dfrac{b+c}{b+c}\)
\(=-1-1-1-1\)
\(=-4\)
11 tháng 3 2018
Lời giải:
a, \(A=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ca+cb}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=1,5\) (AM-GM với a,b,c\(>0\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Chú ý: bn cx có thể cm: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\left(a,b,c>0\right)\)để suy ra
b, \(B=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a+b}{c}\)
\(\ge6\sqrt[6]{\dfrac{a}{b+c}.\dfrac{b+c}{a}.\dfrac{b}{a+c}.\dfrac{a+c}{b}.\dfrac{c}{a+b}.\dfrac{a+b}{c}}=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Chú ý: bn cx có thể nhóm tổng trên thanh ba nhóm, mỗi nhóm hai hạng tử
11 tháng 3 2018
a)Đặt \(A=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(A+3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\)
\(A+3=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge\dfrac{9\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow MINA=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c\)
13 tháng 11 2021
a+b−cc=b+c−aa=c+a−bb
⇒a+b−cc+1=b+c−aa+1=c+a−bb+1
⇒a+bc=b+ca=c+ab
+)Nếu a+b+c=0⇒a+b=−c;b+c=−a;c+a=−b
⇒B=a+ba.c+ac.b+cb=−ca.−bc.−ab=−(abc)abc=−1
Nếu a+b+c≠0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
a+bc=b+ca=c+ab=2(a+b+c)a+b+c=2
⇒a+b=2c
b+c=2a
c+a=2b
⇒B=2ca.2bc.2ab=2.2.2=8
cm: \(1< M< 2\) sẽ thỏa mãn cả a và b
Ta có:
\(M>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=1\)
vì \(a;b;c>0\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+b};\dfrac{b}{b+c};\dfrac{c}{c+a}< 1\)
\(\Rightarrow M< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{a+b+c}=2\)
hay: \(1< M< 2\)
còn câu b đâu bn