Bài 1:Cho tam giác ABC.Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AB và AC.Trên tia đối của tia IC lấy M sao cho IM=IC.Trên tia đối của tiaKB lấy M sao cho KN=KB
A,Tính tổng ba góc:∠ MAB+∠BAC+∠CAN
B,Cho H là chân đường cao của tam giác ABC. CMR tam giác MHN là Tam giác cân
Lời giải:
Xét tam giác $MIA$ và $CIB$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MIA}=\widehat{CIB}(\text{đối đỉnh})\\ MI=CI\\ IA=IB\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle MIA=\triangle CIB(c.g.c)\)
\(\Rightarrow \widehat{MAI}=\widehat{CBI}\Leftrightarrow \widehat{MAB}=\widehat{ABC}\)
Tương tự:
\(\triangle NKA=\triangle BKC(c.g.c)\Rightarrow \widehat{NAK}=\widehat{BCK}\Leftrightarrow \widehat{NAC}=\widehat{ACB}\)
Do đó: \(\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{NAC}=\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180^0\)
(Theo định lý về tổng ba góc trong tam giác)
b) Vì \(\triangle MIA=\triangle CIB\Rightarrow MA=CB\)
\(\triangle NKA=\triangle BKC\Rightarrow NA=BC\)
Do đó \(MA=NA\)
Theo phần a cũng có \(\widehat{MAI}=\widehat{CBI}\) mà hai góc đó nằm ở vị trí so le trong nên \(MA\parallel BC\). Tương tự \(NA\parallel BC\)
Khi đó \(AH\perp BC\Leftrightarrow AH\perp MA, NA\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{NAH}=90^0\)
Tam giác $MAH$ và $NAH$ có: \(\left\{\begin{matrix} \widehat{MAH}=\widehat{NAH}\\ \text{ AH chung}\\ MA=NA\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle MAH=\triangle NAH(c.g.c)\Rightarrow MH=NH\)
Do đó tam giác $MHN$ cân tại $H$