chứng minh rằng tổng \(A=\left(7^1+7^2+7^3+7^4+...+7^4k\right)\)trongđó k là số tự nhiên chia hết cho 400
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
25 tháng 3 2016
Nhóm các hạng tử của tổng đã cho theo dạng sau:
\(A=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+\left(7^5+7^6+7^7+7^8\right)+...+\left(7^{4k-3}+7^{4k-2}+7^{4k-1}+7^{4k}\right)\)
\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+7^4\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+...+7^{4k-4}\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\)
\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\left(1+7^4+7^8+...+7^{4k-4}\right)\)
\(=7\left(1+7+7^2+7^3\right)\left(1+7^4+7^8+...+7^{4k-4}\right)\)
\(A=7\left(1+7+49+343\right)\left(1+7^4+7^8+...+7^{4k-4}\right)=7.400.B\)
Vậy, \(A\) chia hết cho \(400\)
30 tháng 1 2021
Ta có : \(A=7+7^2+7^3+...+7^{4k}\)
\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+...+\left(7^{4k-3}+7^{4k-2}+7^{4k-1}+7^{4k}\right)\)
\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+...+7^{4k-4}\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\)
\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\left(1+...+7^{4k-4}\right)\)
\(=2800\left(1+...+7^{4k-4}\right)\)
\(=350.8\left(1+...+7^{4k-4}\right)⋮8\)
\(\Rightarrow A⋮8\left(1\right)\)
Ta lại có : \(A=7+7^2+7^3+...+7^{4k}\)
\(\Rightarrow7A=7^2+7^3+7^4+...+7^{4k+1}\)
\(\Rightarrow7A-A=\left(7^2+7^3+7^4+...+7^{4k+1}\right)-\left(7+7^2+7^3+....+7^{4k}\right)\)
hay \(6A=7^{4k+1}-7=7\left(7^{4k}-1\right)\)
Vì \(7\equiv2\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow7^{4k}\equiv2^{4k}=16^k\left(mod5\right)\)
mà \(16\equiv1\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow16^k\equiv1^k=1\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow7^{4k}\equiv1\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow7^{4k}-1⋮5\left(\cdot\right)\)
\(\Rightarrow7\left(7^{4k}-1\right)⋮5\)
\(\Rightarrow6A⋮5\)
Nhưng \(\left(6;5\right)=1\)
\(\Rightarrow A⋮5\left(2\right)\)
Ta lại có tiếp : \(7\equiv1\left(mod2\right)\)
\(\Rightarrow7^{4k}\equiv1^{4k}=1\left(mod2\right)\)
\(\Rightarrow7^{4k}-1⋮2\left(\cdot\cdot\right)\)
Từ \(\left(\cdot\right)\), \(\left(\cdot\cdot\right)\) và \(\left(2;5\right)=1\): \(\Rightarrow7^{4k}-1⋮10\)
\(\Rightarrow7\left(7^{4k}-1\right)⋮10\)
\(\Rightarrow6A⋮10\)
Nhưng \(\left(6;10\right)=1\)
\(\Rightarrow A⋮10\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)và \(\left(5;8;10\right)=1\)
\(\Rightarrow A⋮400\left(đpcm\right)\)
VT
2
10 tháng 6 2017
7 + 72 + 73 + ... + 74k
= [7 + 72 + 73 + 74] + 74[7 + 72 + 73 + 74] + .... + 74k-4[7 + 72 + 73 + 74]
= 2800 + 74.2800 + .... + 74k-4. 2800
= 7.400 [70 + 74 + ... + 74k-4] \(⋮400\)
QN
1
30 tháng 7 2017
\(A=7^1+7^2+7^3+7^4+...+7^{4k}\)
\(=\left(7^1+7^2+7^3+7^4\right)+...+\left(7^{4k-3}+7^{4k-2}+7^{4k-1}+7^{4k}\right)\)
\(=7.\left(1+7+7^2+7^3\right)+...+7^{4k-3}.\left(1+7+7^2+7^3\right)\)
\(=7.\left(1+7+49+343\right)+...+7^{4k-3}.\left(1+7+49+343\right)\)
\(=7.400+...+7^{4k-3}.400=400.\left(7+...+7^{4k-3}\right)\)
\(=100.\left[4.\left(7+...+7^{4k-3}\right)\right]⋮100\)
=> đpcm
NA
Nguyễn An Ninh
VIP
3 tháng 11
`A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^41` $\\$
`2A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^42`$\\$
`2A - A = (2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^42) - (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^41)` $\\$
`2A - A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^42 - 1 - 2 - 2^2 - 2^3 - ... - 2^41`$\\$
`2A - A = (2 - 1 - 2) + (2^2 - 2^2) + (2^3 - 2^3) + ... (2^41 - 2^41) + 2^42`$\\$
`2A - A = - 1 + 2^42`$\\$
hay `A = -1 + 2^42`$\\$
NA
Nguyễn An Ninh
VIP
3 tháng 11
`A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{41}` $\\$
`2A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{42}`$\\$
`2A - A = (2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{42}) - (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{41})` $\\$
`2A - A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{42} - 1 - 2 - 2^2 - 2^3 - ... - 2^{41}`$\\$
`2A - A = (2 - 1 - 2) + (2^2 - 2^2) + (2^3 - 2^3) + ... (2^{41} - 2^{41}) + 2^42`$\\$
`2A - A = - 1 + 2^{42}`$\\$
hay `A = -1 + 2^{42}`$\\$
\(A=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+\left(7^5+7^6+7^7+7^8\right)+...+\left(7^{4k-3}+7^{4k-2}+7^{4k-1}+7^{4k}\right)\)
\(A=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+7^4\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+7^{4k-4}\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\)
\(A=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\left(1+7+7^4+7^8+...+7^{4k-4}\right)\)
\(A=7\left(1+7+49+343\right)\left(1+7^4+7^8+...+7^{4k-4}=7.400.M\right)\)
vậy \(A⋮400\)