CMR: phân số \(\dfrac{2n+1}{2n\left(n+1\right)}\)luôn luôn tối giản với mọi n \(\in\)N
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 8 2021
Đặt \(d=ƯC\left(2n+1;2n^2+2n\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n^2+2n⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)-2\left(2n^2+2n\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow2n+1\) và \(2n\left(n+1\right)\) nguyên tố cùng nhau hay phân số đã cho tối giản với mọi n nguyên
TM
1
30 tháng 1 2017
Ai kết bạn vs mình ko mình hết lượt rồi
T
0
3
24 tháng 2 2020
Gọi d là ước số chung lớn nhất của 2n+1 và 6n+5
2n+1 chia hết cho d => 3(2n+1) chia hết cho d => 6n+3 chia hết cho d
Mà 6n+5 chia hết cho d
=> (6n+5) - (6n+3) chia hết cho d
=> 2 chia hết cho d
=> d thuộc tập 1; 2
Mà n nguyên => 2n+1 lẻ => d không thể là 2
=> d = 1
=> 2n+1 và 6n+5 nguyên tố cùng nhau, hay phân số 2n+1 / 6n+5 luôn tối giản
24 tháng 2 2020
Gọi ƯCLN(2n+1;6n+5) là d \(d\inℕ^∗\))
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}\Rightarrow}6n+5-6n-3⋮d\Rightarrow2⋮d}\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)
=> Phân số \(\frac{2n+1}{6n+5}\)không là phân số tối giản
Ps: Bạn xem lại đề nhé!
21 tháng 5 2018
Ta chứng minh \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\) (1)
với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)
=> (1) đúng khi n = 1
Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k\(\in\)N* , tức là giả sử đã có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)
Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 , tức là ta sẽ chứng minh
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
=> Từ giả thiết quy nạp ta có :
\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)
\(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)
Từ các chứng minh trên , suy ra (1) đúng với mọi n \(\in\)N*
A
1
15 tháng 12 2017
\(\dfrac{2n+1}{2n\left(n+1\right)}=\dfrac{2n+1}{2n^2+2n}\)
Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+1;2n^2+2n\right)\left(d\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n^2+2n⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n^2+n⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow n⋮d\)
Mà \(2n+1⋮d\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\)
\(\Leftrightarrow d=1\)
\(\LeftrightarrowƯCLN\left(2n+1;2n\left(n+1\right)\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\) Phân số \(\dfrac{2n+1}{2n\left(n+1\right)}\) là phân số tối giản
Goi d la UCLN(2n+1,2n(n+1)) nen tao co:
\(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n\left(n+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\n\left(2n+1\right)+n⋮d\end{matrix}\right.\)
=> n⋮d
=> 1.n⋮d => 1⋮d
=> dpcm