Cho a,b,c>0tm:a+b+c=1 Tìm GTNN
P=\(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\)
@Lightning Farron,@Akai Haruma
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TD
25 tháng 7 2018
Đặt A = \(\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-3\sqrt{2}}< A\)
\(A^3=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{9-8}=9\)
\(\Rightarrow A^8=\left(A^3\right)^2.A^2=9^2.\left(\sqrt[3]{9}\right)^2=3^4.\sqrt[3]{81}=3^5.\sqrt[3]{3}< 3^6\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-3\sqrt{2}}< A< 3^6\)
......... Kaito Kid ........
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2018
Lời giải:
Bài này bạn chịu khó tìm điểm rơi rồi áp BĐT AM-GM vào thôi:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{ab}=\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}\leq \frac{a+4b}{4}\)
\(\sqrt[3]{abc}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c}\leq \frac{a+4b+16c}{12}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq a+\frac{a+4b}{4}+\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{4}{3}(a+b+c)\)
Mà \(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}\Rightarrow a+b+c\geq 1\)
Vậy \((a+b+c)_{\min}=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 1 2018
Vậy làm theo đề đã sửa nhé.
Lời giải:
Không mất tính tổng quát. Giả sử \(a\geq b\geq c\geq 0\)
Khi đó: \(\left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2=b^2+c(c-b)\leq b^2\\ a^2-ca+c^2=a^2+c(c-a)\leq a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\)
\(\leq (a^2-ab+b^2)a^2b^2\)
Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu ta có:
\(P\leq a^2b^2(a^2-ab+b^2)=\frac{4}{9}.\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}(a^2-ab+b^2)\)
\(\leq \frac{4}{9}\left(\frac{a^2-ab+b^2+\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}}{3}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{4}{9}\left(\frac{(a+b)^2}{3}\right)^3\Leftrightarrow P\leq \frac{4}{243}(a+b)^6\)
Vì \(c\geq 0\Rightarrow a+b=3-c\leq 3\)
Do đó \(P\leq \frac{4}{243}.3^6=12\)
Vậy \(P_{\max}=12\). Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(2,1,0)\) và các hoán vị của nó.
P/s: Bài này cũng chính là bài mình thi hsg vòng trường 5 năm trước :)
20 tháng 10 2018
Đang học Bunyakovsky đúng hong :D
1)
\(S=\sqrt{a^2+4ab+b^2}+\sqrt{b^2+4bc+c^2}+\sqrt{c^2+4ac+a^2}\)
\(S^2=\left(\sqrt{a^2+4ab+b^2}+\sqrt{b^2+4bc+c^2}+\sqrt{c^2+4ac+a^2}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+4ab+b^2+b^2+4bc+c^2+c^2+4ac+a^2\right)\)
\(=3.2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)=6.\left(a+b+c\right)^2=6.6^2=216\)
\(\Leftrightarrow S\le6\sqrt{6}."="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
2) \(M^2=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+1+y+1\right)=2.8=16\)
\(M\le4."="\Leftrightarrow x=y=3\)
3)
\(S=ab+2\left(a+b\right)\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}+\dfrac{8\left(a+b\right)}{4}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right)^2+8\left(a+b\right)}{4}\)
\(\left(a+b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)=2\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2+8\left(a+b\right)}{4}\le\dfrac{2+8\sqrt{2}}{4}=\dfrac{1+4\sqrt{2}}{2}\)
\(S\le\dfrac{1+4\sqrt{2}}{2}."="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 4 2018
Lời giải:
Ta có:
\(M=\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+9\sqrt{abc}\)
\(M=\sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}+9\sqrt{abc}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\([\sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}]^2\leq (a+b+c)(a+bc+b+ac+c+ab)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}\leq \sqrt{1+ab+bc+ac}\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{a(a+bc)}+\sqrt{b(b+ac)}+\sqrt{c(c+ab)}\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}(1)\)
AM-GM: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}\Rightarrow 9\sqrt{abc}\leq \sqrt{3}(2)\)
Từ (1);(2) suy ra: \(M\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(M_{\max}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\) . Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
20 tháng 7 2018
Ai đánh m '-' Cứ tl đi a cho e kẹo nhenn ( a hiền mà :3 )
20 tháng 7 2018
\(\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(n+a+n-a\right)=4n\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\le2\sqrt{n}\)
Dấu "=" hiển nhiên k xảy ra ( a>0) nên ta có đpcm
Áp dụng: Cái bđt kia ko lq đến cái bđt cm ở trên. xem lại đề
9 tháng 8 2019
Xí câu dễ trước, câu 1 chắc lại phải nhờ chị Akai Haruma :)
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
+) \(\sqrt{1\cdot\left(x-1\right)}\le\frac{1+x-1}{2}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\)
+) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2\left(y-2\right)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2+y-2}{2}=\frac{y}{2\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y-2}\le\frac{y}{2\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{y-2}}{y}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
+) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3\left(z-3\right)}\le\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{3+z-3}{2}=\frac{z}{2\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{z-3}\le\frac{z}{2\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế của 3 bđt :
\(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow A\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\\z=6\end{matrix}\right.\)
N
9 tháng 8 2019
Câu 1 đương nhiên dễ với Nguyên Pro này :)))
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{1+a^4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(1+a^4\right)}\)\(\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+a^2\right)\)\(\ge\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}\left(1+a\right)^2\)\(=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(1+a\right)^2\)
Ttự, c/m:\(\sqrt{1+b^4}\ge\frac{\sqrt{2}}{4}\left(1+b\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\sqrt{2}}{4}\left[\left(1+a\right)^2+\left(1+b\right)^2\right]\)
Đến đây tự làm nốt nhé!
#Walker
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 7 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A+B=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3+2\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)+2\sqrt{ab}\)
\(=(\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]+2\sqrt{ab}\)
Ta thấy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\in\mathbb{Q}; \sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\) nên:
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-3\sqrt{ab}]\in\mathbb{Q}\) và \(2\sqrt{ab}\in\mathbb{Q}\)
Do đó: \(A+B\in\mathbb{Q}\)
Mặt khác:
\(AB=\sqrt{a}(a+\sqrt{b}).\sqrt{b}(b+\sqrt{a})\)
\(=\sqrt{ab}(a+\sqrt{b})(b+\sqrt{a})\)
\(=\sqrt{ab}(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab})\)
\(=\sqrt{ab}(A+B)\)
Do $A+B$ là số hữu tỉ (cmt) và $\sqrt{ab}$ cũng là số hữu tỉ, nên \(AB\) là số hữu tỉ.
HN
20 tháng 7 2018
Bác Akai Haruma làm nhầm đoạn cuối. Chắc do học nhiều nên mệt. Mình đại diện các bạn khác tiếp sức cho bác.
\(AB=\sqrt{ab}\left(a+\sqrt{b}\right)\left(b+\sqrt{a}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab+a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+a\sqrt{a}+\sqrt{ab}+b\sqrt{b}+\sqrt{ab}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(ab-\sqrt{ab}+A+B\right)\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}A+B\in Q\\\sqrt{ab}\in Q\\ab\in Q\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB\in Q\)
sai đề không ?
ko sai đề. mình vừa nghĩ ra rồi
P=\(a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c} \le a+\frac {a+4b}{4}+\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{4(a+b+c)}{3}=\frac{4}{3}\)