cho 3 số thực dương \(0\le a\le b\le c\le1\) .chứng minh rằng \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 3 2017
Vào đây đi:
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/32718.html
1N
cho ba số dương \(0\le a\le b\le c\le1\) CMR \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le2\)
1
25 tháng 5 2022
Vì \(0\le a\le b\le c\le1\) nên:
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge ab+1\ge a+b\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{1}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{c}{a+b}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{a}{b=c}\left(2\right);\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{b}{a+c}\left(3\right)\)
Do đó: \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\le\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\left(4\right)\)
Mà: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(5\right)\)
Từ (4) và (5) suy ra \(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}\left(đpcm\right)\)
12 tháng 2 2018
Ta có: \(0\le a\le b\le c\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a\ge0\\1-b\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1-b-a+ab\ge0\Leftrightarrow1+ab\ge a+b\)(1)
Tiếp tục chứng minh ta được: \(0\le a\le b\le c\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ge c\\ab\ge0\end{matrix}\right.\)(2)
Cộng theo vế pt(1) với pt(2) ta được:
\(1+ab+1+ab\ge a+b+c+0\)
\(\Rightarrow2\left(ab+1\right)\ge a+b+c\)
Nên: \(\dfrac{c}{ab+1}=\dfrac{2c}{2\left(ab+1\right)}\le\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự suy ra đpcm
11 tháng 2 2018
Câu hỏi của Phạm Quốc Anh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
13 tháng 3 2017
\(a\le1;b\le1\Rightarrow a-1\le0;b-1\le0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\frac{1}{ab+1}\le\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\\\frac{b}{ac+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (đpcm)
muộn rồi để lúc khác tôi làm cho
Ta có: \(0\le a\le b\le c\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a\ge0\\1-b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\Leftrightarrow1\left(1-b\right)-a\left(1-b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1-b-a+ab\ge0\Leftrightarrow1+ab\ge a+b\)
Tiếp tục chứng minh ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}1\ge c\\0\le a\le b\Leftrightarrow ab\ge0\end{matrix}\right.\)
cộng theo vế: \(1+ab+1+ab\ge a+b+c+0\)
\(\Rightarrow2\left(1+ab\right)\ge a+b+c\)
Ta có: \(\dfrac{c}{ab+1}=\dfrac{2c}{2\left(ab+1\right)}\le\dfrac{2c}{a+b+c}\) (1)
chứng minh tương tự suy ra đpcm