cho a>0, b>0, c>0. CMR: \(a^2-b^2+c^2=\left(a-b+c\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
27 tháng 11 2017
\(BDT\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(a+c\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(a+c\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\)
Theo BĐT Nesbitt thì : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\ge\frac{9}{4}\)
KN
11 tháng 6 2020
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa a + b + c = 3 \(\Rightarrow0< a,b,c< 3\)
Khi đó bất đẳng thức tương đương với: \(\frac{a}{\left(3-a\right)^2}+\frac{b}{\left(3-b\right)^2}+\frac{c}{\left(3-c\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{x}{\left(3-x\right)^2}\ge\frac{2x-1}{4}\)với \(x\in\left(0;3\right)\)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(-2x+9\right)}{4\left(3-x\right)^2}\ge0\)(đúng với mọi \(x\in\left(0;3\right)\))
Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{\left(3-a\right)^2}+\frac{b}{\left(3-b\right)^2}+\frac{c}{\left(3-c\right)^2}\ge\frac{2a-1}{4}+\frac{2b-1}{4}+\frac{2c-1}{4}\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}=\frac{3}{4}\left(q.e.d\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
3 tháng 1 2019
3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)
\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)
Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Y
16 tháng 4 2019
+ \(c^2+1\ge2c\) \(\forall c\)
\(\Rightarrow a^2\left(c^2+1\right)\ge2a^2c\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)
+ Tương tự ta có :
\(c^2\left(b^2+1\right)\ge2bc^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
\(b^2\left(a^2+1\right)\ge2ab^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(b^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)
\(\ge2\left(a^2c+bc^2+ab^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương \(a^2c;bc^2;ab^2\) ta có :
\(a^2c+bc^2+ab^2\ge3\sqrt[3]{a^2c\cdot bc^2\cdot ab^2}=3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2c=bc^2=ab^2\Leftrightarrow a=b=c\)
Do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(c^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)
\(\ge2\cdot3abc=6abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
16 tháng 4 2019
Nghĩ đơn giản ra
VT = a2 + c2a2 + c2 + b2c2 + b2 + a2b2 ≥ \(6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}\) = 6abc
NP
0
10 tháng 3 2018
a^4 +b^4 >= ab^3 +a^3 b (1)
<=> 4a^4 +4b^4 - 4ab(a^2 +b^2) >= 0
<=> [(a^2 +b^2 )^2 - 4ab(a^2 +a^2) +4a^2 b^2 ] +3a^4 +3b^4 -6a^2 b^2 >=0
<=> (a -b )^4 +3(a^4 + b^4 -2a^2 b^2 ) >= 0 (2)
cos (a-b )^4 >= 0
a^4 + b^4 >= 2a^2 b^2 (co si có thể không cần co si cũng được )
=> (2) đúng => (1) đúng => dpcm
b) a^2 +b^2 +1 >= ab +a+b (1)
<=>2a^2 +2b^2 +2 -2ab -2a-2b >=0
<=>[a^2 +b^2 -2ab ] +[a^2 -2a +1] +[b^2 -2b +1 ] >=0
<=>(a -b)^2 +(a-1)^2 + (b-1)^2 >=0 (2)
(2) đúng (1) đúng => dpcm