bài 1 choa,b,c>0 CMR: \(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{a+3c}{b+c}>=5\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A=\(\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\)
=>\(\frac{3}{2}\)-A=\(\frac{1}{2}-\frac{a}{3a+b+c}+\frac{1}{2}-\frac{b}{3b+a+c}+\frac{1}{2}-\frac{c}{3c+a+b}\)
<=>\(\frac{3}{2}\)-A=\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{6a+2b+2c}+\frac{1}{6b+2a+2c}+\frac{1}{6c+2a+2b}\right)\)
ta lại có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{6a+2b+2c}+\frac{1}{6b+2a+2c}+\frac{1}{6c+2a+2b}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{6a+2b+2c+6b+2a+2c+6c+2a+2b}\right)=\frac{9}{10}\)<=>\(\frac{3}{2}-\)A\(\ge\frac{9}{10}\)<=>A\(\le\frac{3}{2}-\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\)
dấu "=" xảy ra <=>a=b=c
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{b+c+c+a+c+a}=\frac{9}{3c+2a+b}\)
\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{a+c+a+b+a+b}=\frac{9}{3a+2b+c}\)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{9}{a+b+b+c+b+c}=\frac{9}{3b+2c+a}\)
Cộng theo vế rồi rút gọn ta thu được
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\geq 3\left(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{3b+2c+a}+\frac{1}{3c+2a+b}\right)\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Ta có: a , b , c > 0 => a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện: ab + ac + bc = 0
Áp dụng tính chất tỉ dãy số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}=\frac{a^4+b^4+c^4}{b+3+c+3a+a+3b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4+b^4+c^4}{4a+4b+4c}=\frac{a^4+b^4+c^4}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{4}\) (Đúng với đề bài)
\(\RightarrowĐPCM\)
Ps; Không chắc nha! Mình chưa học lớp 9