Cho \(\Delta MNP\) cân tạị P ( P < 90 độ ), vẽ \(MA\perp PN\) tại A, \(NC\perp PM\) tại C. Chứng minh:
a) PC = PA và CM // MN.
b) Gọi I là giao điểm của MA và NC. Chứng minh: \(\Delta IMN\) cân.
c) Tia PI cắt MN tại K. Chứng minh K là trung điểm của MN.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 4 2020
- Hình tự vẽ nha 
a, - Xét \(\Delta PCN\) và \(\Delta PAM\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MPN}\left(chung\right)\\PN=PM\left(gt\right)\\\widehat{PAM}=\widehat{PCN}\left(=90^o\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta PCN\) = \(\Delta PAM\) ( Ch - gn )
=> PC = PA ( cạnh tương ứng )
- Xét tam giác PAC có : PC = PA ( cmt )
=> Tam giác PAC cân tại P .
=> \(\widehat{PAC}=\frac{180^o-\widehat{MPN}}{2}\)
Mà tam giác PMN cân tại P .
=> \(\widehat{PMN}=\frac{180^o-\widehat{MPN}}{2}\)
=> \(\widehat{PAC}=\widehat{PMN}\)
Mà 2 góc trên ở vị trí đồng vị .
=> CA // MN .
DN
13 tháng 3 2020
a) Xét Δ vuông PMA và Δ vuông PNC, có:
\(\widehat{P}\) là góc chung
PM=PN (gt)
⇒ΔPMA=ΔPNC (c.h-g.n)
⇒PC=PA (2 cạnh tương ứng)
b)
Ta có: MA và NC là các đường cao và giao nhau tại I
⇒ Tia PI là đường cao thứ 3
⇒PK là đường cao.
Ta lại có: ΔMNP cân
⇒MA;NC;PK đồng thời là đường trung trực
⇒ MK=NK
⇒K là trung điểm MN
16 tháng 2 2019
a, Ta có: tam giác MNP cân tại P
=> góc PMN = góc PNM
Và PM = PN
Xét tam giác MNC vuông tại C và tam giác NMA vuông tại A:
+ góc PMN = góc PNM ( cmt)
+ MN là cạnh chung
==> tam giác MNC = tam giác NMA ( CH-GN)
=> MC= NA ( 2 cạnh tương ứng)
Ta có: PM = PN ( cmt)
MC = MA ( cmt)
PM = PC+MC
PN= PA+MA
==> PA=PC
Nối C và A
Trong tam giác PCA, có: PC=PA ( cmt)
==> tam giác PCA cân tại C
==> góc PCA = góc PAC = \(\dfrac{180-gócP}{2}\) (1)
Ta có: tam giác MNP cân tại P( gt):
==> góc PMN= góc PNM = \(\dfrac{180-gócP}{2}\) (2)
Từ (1), (2) => góc PAC = góc PNM
mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị
==> CA//MN (DHNB)
b, Xét tam giác PCI vuông tại C và tam giác PAI:
+ PC=PA ( cmt)
+ PI là cạnh chung
==> tam giác PCI = tam giác PAI ( CH-CGV)
==> góc CPI= góc API ( 2 góc tương ứng)
Xét tam giác MPK và tam giác NPK:
+ PM= PN ( cmt)
+ góc CPI= góc API ( cmt)
+ PK là cạnh chung
==> tam giác MPK = tam giác NPK ( C-G-C)
==> MK =NK ( 2 cạnh tương ứng)
mà điểm K nằm giữa điểm M và N
==> K là trung điểm của MN
VK
18 tháng 4 2017
a) Xét \(\Delta\) vuông PMA và \(\Delta\) vuông PNC, có:
\(\widehat{P}\) là góc chung
PM=PN (gt)
\(\Rightarrow\Delta PMA=\Delta PNC\) (c.h-g.n)
\(\Rightarrow\)PC=PA (2 cạnh tương ứng)
b)
Ta có: MA và NC là các đường cao và giao nhau tại I
\(\Rightarrow\) Tia PI là đường cao thứ 3
\(\Rightarrow\)PK là đường cao.
Ta lại có: \(\Delta\)MNP cân
\(\Rightarrow\) MA;NC;PK đồng thời là đường trung trực
\(\Rightarrow\) MK=NK
\(\Rightarrow\)K là trung điểm MN
T
28 tháng 6 2020
a.Xét tam giác AMH và tam giác NMB có
MA = MN [ gt ]
góc AMH = góc NMB [ đối đỉnh ]
HM = BM [ gt ]
Do đó ; tam giác AMH = tam giác NMB [ c.g.c ]
\(\Rightarrow\)góc AHM = góc NBM
mà bài cho góc AHM = 90độ
\(\Rightarrow\)góc NBM = 90độ
Vậy NB vuông góc với BC
b.Theo câu a ; tam giác AMH = tam giác NMB
\(\Rightarrow\)AH = NB [ cạnh tương ứng ]
Mặt khác ; Xét tam giác AHB vuông tại H có
AB lớn hơn AH
\(\Rightarrow\)AB lớn hơn NB
28 tháng 12 2023
Xét △AMD và △DMC
AB=AC(giả thuyết)
Cạnh AM là cạnh chung
BM= CM ( M là trung điểm của cạnh BC)
=> △AMD=△DMC
Sorry bạn nhé mk chỉ bt làm câu a thui ☹
29 tháng 2 2020
e) Gọi O là giao điểm của IP và HK. Chứng minh \(\widehat{MON}\) = 180o + \(\widehat{PMO}+\widehat{PNO}+\widehat{HIK}\)
20 tháng 1 2018
a) Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :
\(PM=PN\) (tam giác MNP cân tại P)
\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của \(\widehat{MPN}\) )
\(PI:chung\)
=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(c.g.c\right)\)
*Cách khác :
Xét \(\Delta PIM;\Delta PIN\) có :
\(\widehat{PMI}=\widehat{PNI}\) (tam giác MNP cân tại P)
\(PM=PN\)(tam giác MNP cân tại P)
\(\widehat{MPI}=\widehat{NPI}\) (PI là tia phân giác của góc MPN)
=> \(\Delta PIM=\Delta PIN\left(g.c.g\right)\)
b) Xét \(\Delta PEI;\Delta PFI\) có :
\(\widehat{PEI}=\widehat{PFI}\left(=90^{^O}\right)\)
\(PI:Chung\)
\(\widehat{EPI}=\widehat{FPI}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta PEI=\Delta PFI\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(IE=IF\) (2 cạnh tương ứng)
c) Ta chứng minh được \(\Delta PIK=\Delta PIH\left(g.c.g\right)\)
Suy ra : \(PK=PH\) (2 cạnh tương ứng)
Xét \(\Delta PHK\) có :
\(PK=PH\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta PHK\) cân tại P (đpcm)
d) Xét \(\Delta PEF\) cân tại E có :
\(\widehat{PEF}=\widehat{PFE}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta PKH\) cân tại P (cmt) có :
\(\widehat{PKH}=\widehat{PHK}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{PEF}=\widehat{PKH}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này đều ở vị trí đồng vị
=> \(\text{EF // HK (đpcm)}\)
GH
11 tháng 2 2018
Câu 1:
a) Ta có: AB2 + BC2 = 62 + 82 = 100
Mà: CA2 = 102 = 100
=> CA2 = AB2 + BC2
=> \(\bigtriangleup ABC\) vuông tại B
b) Xét \(\bigtriangleup ABC\) vuông tại B:
Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{C}=90^{\circ}\) (Hai góc phụ nhau)
=> \(\widehat{C}=90^{\circ}-\widehat{A}=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}\)
11 tháng 2 2018
Câu 1 :
a) Xét \(\Delta ABC\) có :
\(AB^2+BC^2=CA^2\) (Định lí PITAGO đảo)
=> \(6^2+8^2=CA^2\)
=> \(CA^2=100\)
=> \(CA=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)
Mà theo bài ra : \(CA=10cm\)
=> \(\Delta ABC\) vuông tại B (đpcm)
b) Xét \(\Delta ABC\) có :
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{^O}\) (tổng 3 góc của 1 tam giác)
Hay : \(55^o+90^o+\widehat{C}=180^o\)
=> \(\widehat{C}=180^o-\left(55^o+90^o\right)=35^o\)
Câu 2 :
a) Xét \(\Delta PAM,\Delta PCN\) có :
\(\widehat{P}:chung\)
\(PM=PN\)(ΔMNP cân tại P)
\(\widehat{PAM}=\widehat{PCN}\left(=90^{^O}\right)\)
=> \(\Delta PAM=\Delta PCN\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(PC=PA\) (2 cạnh tương ứng) => đpcm
Xét \(\Delta PAC\) cân tại A (PC = PA) có :
\(\widehat{PCA}=\widehat{PAC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta MNP\) cân tại P(gt) có :
\(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{PCA}=\widehat{PMN}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{P}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> \(CA//MN\) (đpcm)
b) Xét \(\Delta CMN,\Delta ANM\) có :
\(\widehat{CMN}=\widehat{ANM}\) (ΔMNP cân tại P)
\(MN:Chung\)
\(\widehat{MCN}=\widehat{NAM}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta CMN=\Delta ANM\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(\widehat{CNM}=\widehat{AMN}\) (2 góc tương ứng)
Xét ΔIMN có :
\(\widehat{IMN}=\widehat{INM}\) (do\(\widehat{CNM}=\widehat{AMN}\))
=> \(\text{ ΔIMN}\) cân tại I (đpcm)
c) Xét \(\Delta PMK,\Delta PNK\) có:
\(PM=PN\) (ΔMNP cân tại P)
\(\widehat{PMK}=\widehat{PNK}\) (ΔMNP cân tại P)
\(PK:Chung\)
=> \(\Delta PMK=\Delta PNK\left(c.g.c\right)\)
=> MK = NK (2 cạnh tương ứng)
DO đó : K là trung điểm của MN
a) Xét \(\Delta PAM;\Delta PCN\) có :
\(\widehat{PAM}=\widehat{PCN}\left(=90^{^O}\right)\)
\(PM=PN\) (Tam giác MNP cân tại P)
\(\widehat{P}:Chung\)
=> \(\Delta PAM=\Delta PCN\)(cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(PA=PC\) (2 cạnh tương ứng)
* Mình sửa lại chút nhé , chứng minh CA // MN (có gì sai sót thì bạn góp ý nhé)
Xét \(\Delta PCA\) cân tại P (PA =PC - cmt) có :
\(\widehat{PCA}=\widehat{PAC}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta PMN\) cân tại P có :
\(\widehat{PMN}=\widehat{PNM}=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{PCA}=\widehat{PMN}\left(=\dfrac{180^o-\widehat{P}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
Suy ra : CA // MN (đpcm)
b) Xét \(\Delta CMN;\Delta AMN\) có:
\(\widehat{CMN}=\widehat{ANM}\) (tam giác MPN cân tại P)
\(MN:chung\)
\(\widehat{MCN}=\widehat{NAM}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta CMN=\Delta AMN\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(\widehat{CNM}=\widehat{AMN}\) (2 góc tương ứng)
Xét \(\Delta IMN\) có :
\(\widehat{IMN}=\widehat{INM}\) (do \(\widehat{CNM}=\widehat{AMN}\)- cmt)
=> \(\Delta IMN\) cân tại I (đpcm)
c) Xét \(\Delta PMK;\Delta PNK\) có :
\(PM=PN\left(gt\right)\)
\(\widehat{PMK}=\widehat{PNK}\) (Tam giác MNP cân tại P)
\(PK:chung\)
=> \(\Delta PMK=\Delta PNK\left(c.g.c\right)\)
=> \(MK=NK\) (2 cạnh tương ứng)
Do đó : K là trung điểm của MN