Cho phương trình: \(x^3-m\left(x+2\right)+8=0\)
a)Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
b) Khi phương trình có 3 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\) chứng minh: \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=3x_1x_2x_3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 12 2021
Sửa đề: \(\dfrac{x_1x_2}{x_1+x_2}=-\dfrac{m^2}{2}\)
PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2+4\left(2m^2-3m\right)>0\\ \Leftrightarrow9m^2-18m+9>0\\ \Leftrightarrow9\left(m-1\right)^2>0\left(\text{luôn đúng},\forall m\ne1\right)\)
Do đó PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\ne1\)
Áp dụng Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3-m\\x_1x_2=3m-2m^2\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\dfrac{x_1x_2}{x_1+x_2}=-\dfrac{m^2}{2}\Leftrightarrow\dfrac{3m-2m^2}{3-m}=-\dfrac{m^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow4m^2-12m=3m^2-m^3\\ \Leftrightarrow m^3+m^2-12m=0\\ \Leftrightarrow m\left(m^2+4m-3m-12\right)=0\\ \Leftrightarrow m\left(m+4\right)\left(m-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-4\\m=3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-4\\m=3\end{matrix}\right.\) thỏa yêu cầu đề
30 tháng 3 2022
a: \(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\left(-m-3\right)\)
\(=4m^2-8m+4+4m+12\)
\(=4m^2-4m+16\)
\(=\left(2m-1\right)^2+15>0\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b: Theo đề, ta có:
\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2>=10\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-2\left(-m-3\right)>=10\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+2m+6-10>=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-6m>=0\)
=>m<=0 hoặc m>=3/2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 3 2021
Đề bài sai bạn
Biểu thức \(\left|\dfrac{x_1+x_2+4}{x_1+x_2}\right|=\left|1+\dfrac{1}{m}\right|\) này ko tồn tại max, chỉ tồn tại min
14 tháng 3 2022
a) Xét pt \(x^2-\left(2m-3\right)x+m^2-3m=0\)
Ta có \(\Delta=\left[-\left(2m-3\right)^2\right]-4.1\left(m^2-3m\right)\)\(=4m^2-12m+9-4m^2+12m\)\(=9>0\)
Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Câu b mình nhìn không rõ đề, bạn sửa lại nhé.
Lời giải:
Ta có: \(x^3-m(x+2)+8=0\)
\(\Leftrightarrow (x^3+8)-m(x+2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)(x^2-2x+4)-m(x+2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+2)(x^2-2x+4-m)=0\)
Dễ thấy PT có nghiệm \(x=-2\)
Do đó để có 3 nghiệm pb thì \(x^2-2x+4-m=0\) phải có hai nghiệm phân biệt khác $-2$
Điều này xảy ra khi mà:
\(\left\{\begin{matrix} (-2)^2-2(-2)+4-m\neq 0\\ \Delta'=1-(4-m)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12-m\neq 0\\ m-3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> 3; m\neq 12\)
b)
Nghiệm thứ nhất của PT là \(x_1=-2\)
Hai nghiệm còn lại $x_2,x_3$ được xác định theo hệ thức Viete như sau:
\(\left\{\begin{matrix} x_2+x_3=2\\ x_2x_3=4-m\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(x_1^3+x_2^3+x_3^3=-8+(x_2+x_3)^3-3x_2x_3(x_2+x_3)\)
\(=-8+8-3(4-m).2=6(m-4)\)
Và: \(3x_1x_2x_3=3(-2)(4-m)=6(m-4)\)
Do đó \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=3x_1x_2x_3\) (đpcm)