Cho x, y > 0. Tìm min A = \(\dfrac{x^2+12}{x+y}+y\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
5
20 tháng 7 2019
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
20 tháng 7 2019
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
DT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 12 2018
\(P=3x+\dfrac{12}{x}+y+\dfrac{16}{y}+2\left(x+y\right)\ge2\sqrt{3x.\dfrac{12}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{16}{y}}+2.6=32\)
\(\Rightarrow P_{min}=32\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}3x=\dfrac{12}{x}\\y=\dfrac{16}{y}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)
DT
1
31 tháng 5 2017
Ta có :
\(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)(1)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\)( "=" khi a=b ) , ta có :
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{x^2+2xy+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}>=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{1^2}=4\) (2)
Lại có : \(\left(x-y\right)^2>=0\) ("=" khi x=y )
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2>=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2>=2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy>=4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)
\(\Leftrightarrow1>=4xy\)
\(\Leftrightarrow2xy< =\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2xy}>=2\) (3)
Từ (1) , (2) và (3) , suy ra : \(K>=4+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=2xy\\x=y\\x+y=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy Min\(K=6\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
NL
0
HJ
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2017
Lời giải:
\(A=\frac{x^2}{1-x}+\frac{y^2}{1-y}+\frac{z^2}{1-z}=-(x+1)+\frac{1}{1-x}-(y+1)+\frac{1}{1-y}-(z+1)+\frac{1}{1-z}\)
\(\Leftrightarrow A=-6+(1-x)+\frac{1}{1-x}+(1-y)+\frac{1}{1-y}+(1-z)+\frac{1}{1-z}\)
Do \(1>x,y,z\) nên áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(\left\{\begin{matrix} (1-x)+\frac{1}{1-x}\geq 2\\ (1-y)+\frac{1}{1-y}\geq 2\\ (1-z)+\frac{1}{1-z}\geq 2\end{matrix}\right.\Rightarrow A\geq -6+2+2+2\)
\(\Leftrightarrow A\geq 0\)
Vậy \(A_{\min}=0\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=0\)
13 tháng 12 2021
\(P=\sum\dfrac{1}{x+y+1}\ge\dfrac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{2.1+3}=\dfrac{9}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
@Lightning Farron
@Lightning Farron