Cho a, b, c > 0. Tìm GTNN : \(P=\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}{abc}}+\dfrac{4bc}{\left(b+c\right)^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 12 2021
Ta có \(\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}=\sqrt{bc+a^2bc}=\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Đặt BT đề cho là P
\(\Leftrightarrow P=\sum\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
31 tháng 8 2017
Xét \(\sqrt{\dfrac{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{\left(a\left(a+b+c\right)+bc\right)\left(b\left(a+b+c\right)+ac\right)}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+ab+ac+bc\right)\left(ab+b^2+bc+ac\right)}{ac+bc+c^2+ab}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cho 2 đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế
\(P=a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)=2\)
DP
27 tháng 5 2022
áp dụng bất đẳng thức: 1+b2>=2b. tương tự.....
ad bđt cauchy: a/b+b/c+c/a>=3∛a/b.b/c.c/a=3
P>=\(\dfrac{2ab}{bc}\)+\(\dfrac{2bc}{ca}\)+\(\dfrac{2ca}{ab}\) =2(\(\dfrac{a}{b}\)+\(\dfrac{b}{c}\)+ \(\dfrac{c}{a}\))>=2.3=6
Pmin khi a=b=c=1
13 tháng 6 2022
Áp dụng bđt : \(1+b^2>=2b\)
bđt cauchy : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}>3\sqrt[3]{}\) a\b . b\c . c\a = 3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(P=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+1}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+1}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+1}}\)
\(P=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+xy+yz+zx}}+\sqrt{\dfrac{zx}{y^2+xy+yz+zx}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+xy+yz+zx}}\)
\(P=\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z}{y+z}+\dfrac{x}{x+y}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(a=b=c=\sqrt{3}\)
HN
11 tháng 10 2018
Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được.
Áp dụng BĐT Cauchy
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}{abc}}\ge3\)
\(\Rightarrow P\ge3+\dfrac{4bc}{\left(b+c\right)^2}\)
Ta cần tìm Min của \(3+\dfrac{4bc}{\left(b+c\right)^2}\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(b\ge c\)
\(\Rightarrow b+c\le2b\)\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2\le4b^2\Leftrightarrow\dfrac{4bc}{\left(b+c\right)^2}\ge\dfrac{c}{b}\)
\(b\ge c\Rightarrow\dfrac{c}{b}\ge1\)
Vậy \(3+\dfrac{4bc}{\left(b+c\right)^2}\ge4\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT bunyakovsky và AM -GM ta có:
\(\sqrt{\dfrac{\left[a+\left(b+c\right)\right]\left[bc+a\left(b+c\right)\right]}{abc}}\ge\sqrt{\dfrac{a\left(\sqrt{bc}+b+c\right)^2}{abc}}=\dfrac{\sqrt{bc}+b+c}{\sqrt{bc}}=1+\dfrac{b+c}{\sqrt{bc}}\)
\(LHS\ge1+\dfrac{b+c}{2\sqrt{bc}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt{bc}}+\dfrac{4bc}{\left(b+c\right)^2}\ge1+3\sqrt[3]{\dfrac{4bc\left(b+c\right)^2}{4bc\left(b+c\right)^2}}=4\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c