Question

[Nguyễn Thiện Nhân]

Cho tam giác ABC cân tại A( góc A < 90 độ).Lấy các điểm D,E lần lượt thuộc các cạnh AB,AC sao cho AD=AE

a, Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao

b, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BD,DE,EC,CB.Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

c, xác định vị trí của D,E sao cho tứ giác MNPQ là hình vuông.

d, MQ cắt BE tại H.Khi D,E thay đổi trên cạnh AB,AC sao cho AD=AE thì H chuyển động trên đường nào?

Answer 1

[nguyen thi vang]

a) Xét \(\Delta ADE\) có :

\(AD=AE\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A

Mà có : \(\Delta ABC;\Delta ADE\) \(\widehat{A}:chung\)

=> \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)

Mà : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(\text{DE // BC}\)

=> Tứ giác BDEC là hình thang

Mặt khác : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(t.c\Delta cân\right)\)

=> Tứ giác BDCE là hình thang cân

b) Xét \(\Delta DEC\) có :

\(DN=NE\left(gt\right)\)

\(EP=PC\left(gt\right)\)

=> NP là đường trung bình trong \(\Delta DEC\)

=> \(\text{ NP// CD}\) và \(NP=\dfrac{1}{2}CD\) (1)

Xét \(\Delta BDC\) có :

\(BM=MD\left(gt\right)\)

\(BQ=QC\left(gt\right)\)

=> MQ là đường trung bình trong \(\Delta BDC\)

=> \(\text{MQ // CD}\) và \(MQ=\dfrac{1}{2}CD\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\left\{{}\begin{matrix}NP=MQ\\\text{NP//MQ}\end{matrix}\right.\)

=> Tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại xét \(\Delta BDE\) có :

\(DM=MB\left(gt\right)\)

\(DN=NE\left(gt\right)\)

=> \(NM\) là đường trung bình trong \(\Delta BDE\)

=> \(NM=\dfrac{1}{2}BE\)

Ta thấy : \(BD=CE\) (tính chất chất hình thang cân BDCE)

=> \(NP=NM\)

Do đó : Tứ giác MNPQ là hình thoi.