Cho ∆ABC. Dựng bên ngoài ∆ABC các tam giác đều BCD, ACE. Dựng ∆DEF đều sao cho F và C nằm khác phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng : ACBF là hình bình hành?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi M là giao điểm của AE và CF
ADFE là hình bình hành nên ^ADF = ^AEF (hai góc đối)
Suy ra ^BDF = ^FEC
Xét \(\Delta\)BDF và \(\Delta\)FEC có:
BD = FE (cùng bằng AD)
^BDF = ^FEC (cmt)
DF = EC ( cùng bằng AE)
Do đó \(\Delta\)BDF = \(\Delta\)FEC (c.g.c) suy ra BF = CF (1) và ^BFD = ^FCE
Mặt khác ^AMC = ^DFC (do DF // AE)
^AMC = ^MEC + ^FCE = 600 + ^FCE và ^DFC = ^BFC + ^BFD
Do đó ^BFC = 600 (2)
Từ (1) và 2) suy ra \(\Delta\)FBC đều (đpcm)
Xét tam giác ABD và tam giác FBC có:
AB=FB ( cạnh tam giác đều FAB)
DB=BC ( cạnh tam giác đều DBC)
góc ABD = góc FBC ( cùng bằng góc ABC + 60 độ)
Suy ra tam giác ABD = tam giác FBC (C.G.C)
=> FC=AD
Xét tứ giác ADFE có các cặp cạnh đối bằng nhau nên nó là hình bình hành. Vậy thì \(\widehat{FDA}=\widehat{FEA}\)
Suy ra \(\widehat{BDF}=\widehat{FDA}+60^o=\widehat{FEA}+60^o=\widehat{FEC}\)
Xét tam giác BDF và tam giác FEC có: BD = EF ; DF = EC; \(\widehat{BDF}=\widehat{FEC}\)
\(\Rightarrow\Delta BDF=\Delta FEC\left(c-g-c\right)\Rightarrow BF=CF\) . Vậy FBC là tam giác cân.
Ta thấy theo tính chất hình bình hành: \(\widehat{DFE}=180^o-\widehat{FEA}\) (1)
Lại có : \(\widehat{DFE}=\widehat{DFB}+\widehat{BFC}+\widehat{EFC}=\widehat{BFC}+\left(\widehat{DFB}+\widehat{EFC}\right)\)
\(=\widehat{BFC}+\left(\widehat{ECF}+\widehat{EFC}\right)\)
\(=\widehat{BFC}+\left(180^o-60^o-\widehat{FEA}\right)=\widehat{BFC}+120^o-\widehat{FEA}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BFC}=60^o\)
Suy ra FBC là tam giác đều.