Cho a,b,c > 0 thỏa a+b+c=1. CM: \(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge30\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KK
17 tháng 9 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\ge\dfrac{9}{ab+bc+ac}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ac}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{7}{ab+ac+bc}\)
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{7}{ab+bc+ac}\ge21\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)}=9\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge21+9=30\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Lời giải:Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{bc}{a^2+1}=\frac{bc}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}.\frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, ta có:
\(P\leq \frac{1}{4}\left(\frac{b^2+a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2+a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}\right)=\frac{3}{4}\)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
\(\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{1+ab-c^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+ab}}=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+2c^2\right)}}\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)
\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+a^2+b^2+2c^2}=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2+ab+bc+ca\)
24 tháng 6 2021
Đặt A = \(\dfrac{a-b}{1+c^2}+\dfrac{b-c}{1+a^2}+\dfrac{c-a}{1+b^2}=0\)
= \(\dfrac{a-b}{c^2+ab+bc+ca}+\dfrac{b-c}{a^2+ab+bc+ca}+\dfrac{c-a}{b^2+ab+bc+ca}\)
= \(\dfrac{a-b}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\dfrac{b-c}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
= \(\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(b-c\right)\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\left(c-a\right)}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\)
= \(\dfrac{a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
AT
24 tháng 6 2021
\(\dfrac{a-b}{1+c^2}+\dfrac{b-c}{1+a^2}+\dfrac{c-a}{1+b^2}\)
\(=\dfrac{a-b}{ab+bc+ca+c^2}+\dfrac{b-c}{ab+bc+ca+a^2}+\dfrac{c-a}{ab+bc+ca+b^2}\)
\(=\dfrac{a-b}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\dfrac{b-c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{c-a}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(b-c\right)\left(b+c\right)+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\dfrac{a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Đẳng thức quen thuộc: \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\) và tương tự cho các mẫu số còn lại
Ta có:
\(\sum\dfrac{1}{a^2+1}=\sum\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Mặt khác:
\(2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\) (Bunhiacopxki)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a^2+1}\ge\dfrac{\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\right)^2\)
\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)
Đúng theo AM-GM:
\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
HT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
Do \(abc=1\Rightarrow\) đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
\(VT=\dfrac{xz}{y\left(x+z\right)}+\dfrac{xy}{z\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{x\left(y+z\right)}=\dfrac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}+\dfrac{\left(xy\right)^2}{xyz\left(x+y\right)}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xyz\left(y+z\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2xyz\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{3xyz\left(x+y+z\right)}{2xyz\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 10 2021
\(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\ge1\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}\le1\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có:
\(VT\ge\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}+\dfrac{7}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)