Cho a,b dương. CMR \(\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 11 2017
câu b là áp dụng bất đẳng thức cô -si ko cần chứng minh
a,Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương a,\(\dfrac{1}{b}\)ta có
a+\(\dfrac{1}{b}\)>=\(2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)
chứng minh tương tự ta có
b+\(\dfrac{1}{c}\)>=2\(\sqrt{\dfrac{b}{c}}\)
c+\(\dfrac{1}{a}\)>=\(2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\)
nhân chúng vs nhau ta đc cái cần phải chứng minh
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 2 2021
Đây là BĐT Iran 96 khá nổi tiếng. Bạn hoàn toàn có thể search trên google lời giải.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 6 2021
Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn
Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 6 2021
Bài này đã có ở đây:
Cho abc=1CMR\(\dfrac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\) - Hoc24
26 tháng 8 2021
`sqrta+sqrtb+sqrtc=2`
`<=>(sqrta+sqrtb+sqrtc)^2=4`
`<=>a+b+c+2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4`
`<=>2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4-(a+b+c)=4-2-2`
`<=>sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=1`
`=>a+1=a+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=sqrta(sqrta+sqrtb)+sqrtc(sqrta+sqrtb)=(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)`
Tương tự:`b+1=(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)`
`c+1=(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)`
`=>VT=sqrta/((sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc))+sqrtb/((sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc))+sqrtc/((sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb))`
`=>VT=(sqrta(sqrtb+sqrtc)+sqrtb(sqrtc+sqrta)+sqrtc(sqrta+sqrtb))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}+sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc})/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(2(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/\sqrt{[(sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)]^2}`
`=2/\sqrt{(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)}`
`=2/\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}=>đpcm`
DH
26 tháng 8 2021
a ơi giả thiết là a+b+c=\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)=2 nhé a
TD
Cho a,b>0 thõa mãn điều kiện ab=1
CMR: \(\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{4}{a+b}\ge8\)
2
7 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
Đặt \(M=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow M\ge\left(a+b+1\right).2=\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+2+\frac{4}{a+b}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(M\ge2.\sqrt{ab}+2.\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}+2=2+2.2+2=8\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
\(\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+b\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}+2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}.2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)
\(=4ab+\dfrac{4}{ab}\)
\(=4\left(ab+\dfrac{1}{ab}\right)\ge4.2=8\)(\(a;b>0\))