Cho a, b, c thuộc đoạn [0;1]. CMR;
\(\dfrac{a}{1+b+ac}+\dfrac{b}{1+c+ab}+\dfrac{c}{1+a+bc}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 5 2021
Ta thấy ^EHK = ^EHM + ^KHM = ^BAE + ^CAM = ^BAC = 900
Đường thẳng HE: đi qua \(H\left(2;2\right)\), VTPT \(\overrightarrow{HK}\left(1;-1\right)\Rightarrow\) \(HE:x-y=0\)
Xét hệ \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x+y-6=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}}}\Rightarrow E\left(3;3\right)\)
Đường thẳng KE: đi qua \(K\left(3;1\right)\), VTCP \(\overrightarrow{KE}\left(0;2\right)\Rightarrow KE:\hept{\begin{cases}x=3\\y=1+2t\end{cases}}\)
Xét hệ \(\hept{\begin{cases}2x-y-2=0\\x=3\\y=1+2t\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}}\Rightarrow A\left(3;4\right)\)
Đường thẳng BC: đi qua \(H\left(2;2\right)\), VTPT \(\overrightarrow{HA}\left(1;2\right)\Rightarrow BC:x+2y-6=0\)(1)
Đường thẳng EB: đi qua \(E\left(3;3\right)\), VTPT \(\overrightarrow{KE}\left(0;2\right)\Rightarrow BE:y=3\)(2)
Đường thẳng KC: đi qua \(K\left(3;1\right)\), VTPT \(\overrightarrow{KE}\left(0;2\right)\Rightarrow KC:y=1\) (3)
Từ (1);(2) suy ra \(B\left(0;3\right)\), từ (1);(3) suy ra \(C\left(4;1\right)\)
Vậy \(A\left(3;4\right),B\left(0;3\right),C\left(4;1\right).\)
VT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 10 2019
\(-1\le a;b;c\le2\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2-a-2\le0\)
\(\Rightarrow a^2-2\le a\)
Tương tự ta có: \(b^2-2\le b\) ; \(c^2-2\le c\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge a^2+b^2+c^2-6=0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-1;2\right)\) và cách hoán vị
NT
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 12 2018
Lời giải:
Vì \(a,b,c,d,e\in [-1;1]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq |a|\\ b^2\leq |b|\\ c^2\leq |c|\\ d^2\leq |d|\\ e^2\leq |e|\\ |d|; |e|\leq 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\leq |a|+|b|+|c|+|d|+|e|(*)\)
Có $5$ số nên theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại ít nhất \(\left[\frac{5}{2}\right]+1=3\) số cùng dấu. Giả sử đó là $a,b,c$
Khi đó \(ab\geq 0; c(a+b)\geq 0\)
\(\Rightarrow |a|+|b|+|c|=|a+b|+|c|=|a+b+c|\)
\(\Rightarrow |a|+|b|+|c|+|d|+|e|=|a+b+c|+|d|+|e|\)
\(=|-(d+e)|+|d|+|e|=|d+e|+|d|+|e|\)
\(\leq |d|+|e|+|d|+|e|\leq 1+1+1+1=4(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\leq 4\) hay max của biểu thức bằng $4$
Dấu "=" xảy ra khi \((a,b,c,d,e)=(1,1,0,-1,-1)\) và hoán vị.
Không mất tính tổng quát ta giả sử \(0\le a\le b\le c\le1\)
\(\Rightarrow\left(1-c\right)\left(b-a\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow b-a-bc+ac\ge0\Leftrightarrow ac+b\ge a+bc\)
\(\Leftrightarrow ac+b+1\ge a+bc+1\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{ac+b+1}\le\dfrac{a}{a+bc+1}\)(1)
ta cũng có : \(\left(1-b\right)\left(c-a\right)\ge0\Leftrightarrow ab+c\ge a+bc\Leftrightarrow ab+c+1\ge a+bc+1\)
\(\Rightarrow\dfrac{b}{ab+c+1}\le\dfrac{b}{a+bc+1}\) mà \(b\le c\le1\)
nên \(\dfrac{b}{a+bc+1}\le\dfrac{bc}{a+bc+1}\) \(\Rightarrow\dfrac{b}{ab+c+1}\le\dfrac{bc}{a+bc+1}\)(2)
ta lại có : \(\dfrac{c}{a+bc+1}\le\dfrac{1}{a+bc+1}\)(3)
Cộng Ba vế BĐT (1) (2) (3) lại với nhau ta có
\(\dfrac{a}{1+b+ac}+\dfrac{b}{1+c+ab}+\dfrac{c}{1+a+bc}\le\dfrac{a+bc+1}{a+bc+1}=1\)
không cần giả sử gì hết , phang luôn \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\) (:V)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\Leftrightarrow ab+c+1\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow VT\le\sum\dfrac{b}{a+b+c}=1\)
Dấu = xảy ra : 2 số bằng 1 , số còn lại tùy ý
Mở rộng : \(\forall a,b,c\in\left[0;1\right]\).Cmr:
\(\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{c+a+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)
( Olympic USA 1980 )