Cho a,b,c là số dương. CMR
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2021
\(\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}-1+\dfrac{2}{b+2}-1+\dfrac{2}{c+2}-1\ge2-3\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}=\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2a+b^2+2b+c^2+2c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
18 tháng 9 2021
Phía trên thoả mãn \(\ge1\) chứ không phải 3/2 đâu ạ
15 tháng 12 2018
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{b+c}=\dfrac{4}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{c+a}=\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế và rút gọn suy ra đpcm
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$
$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
15 tháng 12 2018
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\) ( Svac-xơ, Cauchy các kiểu -,- )
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}}{2}=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\) ( đpcm )
...
UK
7 tháng 11 2017
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/471323.html
Tham khảo của Akai đi bác =))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 3 2022
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(P=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=\sqrt{2011}\)
Đồng thời: \(\left\{{}\begin{matrix}y^2+z^2-x^2=2a^2\\z^2+x^2-y^2=2b^2\\x^2+y^2-z^2=2c^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{y^2+z^2-x^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{z}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{y^2+z^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2}{z}-\left(x+y+z\right)\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\dfrac{\left(z+x\right)^2}{2y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2z}-\left(x+y+z\right)\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{\left(y+z+z+x+x+y\right)^2}{2x+2y+2z}-\left(x+y+z\right)\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)
Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b^2}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{2}{b}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{c}\)
\(\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a}\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh rồi rút gọn, ta có:
\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Cách 2: Áp dụng BĐT Bunyakovsky
\(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{b}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{c}.\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{c}}{a}.\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\le\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\ge\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{c}{a^2}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)