Chứng Minh rằng với mọi số thực dương a ; b thỏa mãn :
ab > 2013a + 2014b ta chứng minh được đẳng thức :
\(a+b>\left(\sqrt{2013}+\sqrt{2014}\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
1
9 tháng 5 2023
a^2/b+b^2/a>=a+b
=>a^3+b^3>=ab(a+b)
=>a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0
=>a^2(a-b)+b^2(b-a)>=0
=>(a-b)^2(a+b)>=0(luôn đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 6 2019
Ta chứng minh: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thực vậy, BĐT tương đương:
\(a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng với a; b dương)
Vậy BĐT được chứng minh
Tương tự ta có: \(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\); \(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
DH
1
15 tháng 7 2023
Có:
\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\ge0\)
\(x\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-y\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)
\(\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Dấu = xảy ra khi x=y
16 tháng 7 2017
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
TA
6 tháng 7 2017
a, b, c dương
Ta có \(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2\sqrt{a^4}=2a^2\) (1)
Tương tự \(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\) (2) và \(\frac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\ge2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)=ab+bc+ca\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c
BT
0