Cho x>0, y>0 và x+y = 1
Tìm giá trị lớn nhất của A = \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
A
1
19 tháng 11 2017
áp dụng bđt bunyakovsky cho 2 bộ số (1;1) và (căn x;căn y) ta có: (1^2+1^2)((căn x)^2 +(căn y)^2)>=(1.căn x=1.căn y)^2
<=>2(x+y)>=(căn x+căn y)^2
<=>A=căn x+căn y<=căn(2(x+y))=căn(2.1)=căn 2
đẳng thức xảy ra <=> (căn x)/1=(căn y)/1 và x+y=1<=>x=y=1/2
vậy maxA=căn 2<=>x=y=1/2
PD
1
11 tháng 4 2016
ap dung bdt bunhiacopxki
A^2=<(1+1)(x+y)=2
=>A=< can 2
dau = <=>x=y=1/2
NT
2
29 tháng 8 2018
Vì x>0; y>0
Nên áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}=2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
Mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)
Nên \(\frac{1}{2}\ge2.\frac{1}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow4\le\sqrt{xy}\) (C)
Ta có: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\sqrt{xy}}\)
Thế (C) vào ta được: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
Vậy AMin = 4 khi và chỉ khi x = y
29 tháng 8 2018
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{2}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y>=8\left(1\right)\)(bđt svacxo)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\frac{1}{2}>=\frac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\sqrt{xy}>=4\Rightarrow2\sqrt{xy}>=8\left(2\right)\)(bđt cosi)
từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow x+2\sqrt{xy}+y>=8+8=16\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2>=16\)
mà \(\sqrt{x}>0;\sqrt{y}>0\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}>=4\)
dấu = xảy ra khi x=y=4
vậy min A là 4 khi x=y=4
LM
0
5 tháng 3 2022
\(A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}-\sqrt{x}}\right):\dfrac{2\sqrt{xy}}{x-y}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}:\dfrac{2\sqrt{xy}}{x-y}=\dfrac{-2\sqrt{y}}{2\sqrt{xy}}=\dfrac{-1}{\sqrt{x}}=\dfrac{-\sqrt{x}}{x}\)
b, Ta có \(A=\dfrac{-1}{\sqrt{x}}=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=-1\left(voli\right)\)
Vậy pt vô nghiệm
22 tháng 10 2017
Ta có:
\(3=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Leftrightarrow xyz\le1\)
Ta lại có:
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{3}{\sqrt[6]{xyz}}\ge\frac{3}{1}=3\)
20 tháng 9 2020
\(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{2b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{2c}{\sqrt{1+c^2}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(P=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le a\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+b\left(\frac{1}{4\left(a+b\right)}+\frac{1}{a-b}\right)-c\left(\frac{1}{4\left(b+c\right)}+\frac{1}{a-c}\right)=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{\sqrt{15}}{7};\sqrt{15};\sqrt{15}\right)\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(A^2=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\leq (x+y)(1+1)\)
\(\Leftrightarrow A^2\leq 2(x+y)\Leftrightarrow A^2\leq 2\)
\(\Rightarrow A\leq \sqrt{2}\)
Vậy \(A_{\max}=\sqrt{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{1}=\frac{y}{1}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)