cho x+y=2.CMR \(\left(x+\dfrac{1}{x^{ }}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge8\) với x,y>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2017
Lời giải:
a)
Với \(x>1\Rightarrow x-1>0\). Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x=(x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-1}}{x}\leq \frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra ki \(x-1=1\Leftrightarrow x=2\)
b) Trước tiên, ta có bđt phụ sau:
\(x^3+y^3\geq xy(x+y)\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2(x+y)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )
Do đó, \(\frac{x^3+y^3-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}\geq \frac{xy(x+y)-x^2-y^2}{(x-1)(y-1)}\geq 8\)
\(\Leftrightarrow xy(x+y)-(x^2+y^2)\geq 8(x-1)(y-1)\)
\(\Leftrightarrow x^2(y-1)+y^2(x-1)-8(x-1)(y-1)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)[x^2-4(x-1)]+(x-1)[y^2-4(y-1)]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)(x-2)^2+(x-1)(y-2)^2\geq 0\)
(luôn đúng với mọi \(x,y>1\) )
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)
HN
0
IT
1
HN
8 tháng 5 2017
\(\left(x+\dfrac{2}{y}\right)\left(\dfrac{y}{x}+2\right)\ge2\sqrt{\dfrac{2x}{y}}.2\sqrt{\dfrac{2y}{x}}=2.2.2=8\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 3 2022
\(P=\left(x^2+y^2+2xy\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x^2+y^2}\)
\(P=\left(x^2+y^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2xy\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+1+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\)
\(P\ge2xy.\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2\left(x^2+y^2\right)}{xy}+1+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\)
\(P\ge\dfrac{x^2+y^2}{2xy}+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{x^2+y^2}{xy}\right)+5\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{2xy\left(x^2+y^2\right)}{2xy\left(x^2+y^2\right)}}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{2xy}{xy}+5=10\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 12 2018
\(VT=\dfrac{\left(\dfrac{1}{z}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{y}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Dâu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
17 tháng 7 2020
\(\frac{x^3+y^3-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge8\)
By Titu's Lemma we have:
\(LHS\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\) and we need prove that:
\(\left(x+y\right)^2\ge8\left(x+y\right)-16\)
But the last inequalities is true. ( QED )
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2018
Lời giải:
Từ \(xy+x+y=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1=x^2+xy+x+y=x(x+y)+(x+y)=(x+1)(x+y)\\ y^2+1=y^2+xy+x+y=y(x+y)+(x+y)=(y+1)(x+y)\end{matrix}\right.\)
Mà \(xy+x+y=1\Rightarrow x(y+1)+(y+1)=2\Rightarrow (x+1)(y+1)=2\)
Do đó:
\(x\sqrt{\frac{2(y^2+1)}{x^2+1}}+y\sqrt{\frac{2(x^2+1)}{y^2+1}}+\sqrt{\frac{(x^2+1)(y^2+1)}{2}}\)
\(=x\sqrt{\frac{(x+1)(y+1)(y+1)(x+y)}{(x+1)(x+y)}}+y\sqrt{\frac{(x+1)(y+1)(x+1)(x+y)}{(y+1)(x+y)}}+\sqrt{\frac{(x+1)(x+y)(y+1)(x+y)}{(x+1)(y+1)}}\)
\(=x\sqrt{(y+1)^2}+y\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x+y)^2}\)
\(=x(y+1)+y(x+1)+x+y=2xy+2x+2y=2(xy+x+y)=2.1=2\)
17 tháng 4 2023
\(VT=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=3+\dfrac{x^2+y^2}{z^2}+z^2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\)
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2}\cdot\dfrac{x^2}{y^2}}=2\)
=>\(VT>=5+\left(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}z^2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
\(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{x^2}{z^2}\cdot\dfrac{z^2}{16x^2}}=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}>=\dfrac{1}{2}\)
và \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}>=\dfrac{2}{xy}>=\dfrac{2}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}=\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
=>\(\dfrac{15}{16}z^2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)>=\dfrac{15}{16}z^2\cdot\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{15}{2}\left(\dfrac{z}{x+y}\right)^2=\dfrac{15}{2}\)
=>VT>=5+1/2+1/2+15/2=27/2
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si với \(x; \frac{1}{x}\) là hai số dương:
\(x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2\geq 4\)
Tương tự, \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\geq 4\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\geq 8\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{x}\\ y=\frac{1}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)
P.s: Có thể thấy điều kiện $x+y=2$ là dư thừa.
Hem thừa .-.
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2}{2}=8\)