Cho
\(\dfrac{xn-ym}{p^2}=\dfrac{yp-zn}{m^2}=\dfrac{mz-xp}{n^2}\)
CMR x, y, z tỉ lệ với m, n, p
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 7 2018
Bài 1 :
Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
25 tháng 7 2018
\(A=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2.\dfrac{x+y+z}{xyz}}\)
Vì x+y+z =0 \(\Rightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\) (đpcm)
11 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2.y^2.z^2}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)
Ta có: xyz=1 và x,y,z >0
\(\Rightarrow x\le1\Rightarrow x+1\le2\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Tương tự \(\dfrac{1}{y+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{1}{y+1}.\dfrac{1}{z+1}}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
\(\dfrac{xn-ym}{p^2}=\dfrac{yp-zn}{m^2}=\dfrac{mz-xp}{n^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xnp-ymp}{p^3}=\dfrac{ymp-znm}{m^3}=\dfrac{znm-xnp}{n^3}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{xnp-ymp}{p^3}=\dfrac{ymp-znm}{m^3}=\dfrac{znm-xnp}{n^3}=\dfrac{xnp-ymp+ymp-znm+znm-xnp}{p^3+m^3+z^3}=\dfrac{0}{p^3+m^3+z^3}=0\)
Nên \(\left\{{}\begin{matrix}xn=ym\\yp=zn\\mz=xp\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{m}=\dfrac{y}{n}\\\dfrac{y}{n}=\dfrac{z}{p}\\\dfrac{x}{m}=\dfrac{z}{p}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{x}{m}=\dfrac{y}{n}=\dfrac{z}{p}\)
Hay \(x;y;z\) tỉ lệ với \(m;n;p\left(đpcm\right)\)