Cho a,b,c > 0 và a+b+c =6
Tìm Max của bt \(P=\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{b-1}{b}+\dfrac{c-4}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 4 2023
\(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{2ab-ab}}=\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{bc}};\sqrt{\dfrac{1}{c^2-ac+c^2}}< =\dfrac{1}{\sqrt{ac}}\)
=>P<=1/a+1/b+1/c=3
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
18 tháng 6 2018
\(A=3\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{8}\left(c-a\right)^2\\ =3\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{8}\)
Áp dụng BDT: Cô-si dạng Engel:
\(\Rightarrow A=3\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{8}\ge3\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{\left(a-b+b-c+c-a\right)^2}{2+4+8}=3\left(ab+bc+ca\right)\left(1\right)\)
\(\text{Ta lại có: }ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\\ \Leftrightarrow ab+bc+ac+2\left(ab+bc+ac\right)\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\\ \Leftrightarrow3\left(ab+bc+ac\right)\le\left(a+b+c\right)^2=3^2=9\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow A\le9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\a+b+c=3\\\dfrac{a-b}{2}+\dfrac{b-c}{4}+\dfrac{c-a}{8}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(A_{Max}=9\) khi \(a=b=c=1\)
cái này tìm max thật sao bạn
ta có \(P=3-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\dfrac{4}{c}\) theo bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4}{6-c}\Rightarrow-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\le-\dfrac{4}{6-c}=\dfrac{4}{c-6}\)
\(\Rightarrow P\le3+\dfrac{4}{c-6}-\dfrac{4}{c}\)\(=3+\dfrac{24}{c^2-6c}\)
\(\Rightarrow P\) lớn nhất khi \(\dfrac{24}{c^2-6c}\) lớn nhất
\(\Leftrightarrow c^2-6c\) nhỏ nhất mà \(c^2-6c=c^2-6c+9-9=\left(c-3\right)^2-9\ge-9\)
\(\Rightarrow c^2-6c\ge-9\) \(\Rightarrow\dfrac{24}{c^2-6c}\le\dfrac{-24}{9}\)
\(\Rightarrow P\le3-\dfrac{24}{9}=\dfrac{1}{3}\)\(\Rightarrow MaxP=\dfrac{1}{3}\) dấu bằng xảy ra tại \(c=3;a=b=\dfrac{3}{2}\)