\(\frac{2}{3}n\sqrt{n+1} +<1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}<\frac{2}{3}(n+1) \sqrt{n}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 6 2015
ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{\left(n+1\right)n}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{\left(n+1\right)n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
nên: \(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{25\sqrt{24}+24\sqrt{25}}=\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+......+\frac{1}{\sqrt{24}}-\frac{1}{\sqrt{25}}\)\(=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
TN
17 tháng 8 2018
Mấy bài này đã có người làm rồi nhé bạn vào câu hỏi tương tự mà xem.
29 tháng 6 2016
Với mọi n >1 ta đều có: \(\sqrt{n+1}>\sqrt{n}>\sqrt{n-1}>0\Rightarrow\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}>\sqrt{n}+\sqrt{n-1}>0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)\(\Rightarrow\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \frac{n-\left(n-1\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{n+1}-\sqrt{n}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}\)đpcm.
Từ đó ta có:
\(2\sqrt{2}-2< \frac{1}{\sqrt{1}}=1;\)
\(2\sqrt{3}-2\sqrt{2}< \frac{1}{\sqrt{2}}< 2\sqrt{2}-2;\)
\(2\sqrt{4}-2\sqrt{3}< \frac{1}{\sqrt{3}}< 2\sqrt{3}-2\sqrt{2};\)
...
\(2\sqrt{1006010}-2\sqrt{1006009}< \frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2\sqrt{1006009}-2\sqrt{1006008};\)
Cộng từng vế ta được:
\(2\sqrt{1006009}-2< 2\sqrt{1006010}-2< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2\cdot1003-1\)
\(2004< 2\sqrt{1006010}-2< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2005\)đpcm
Một bất đẳng thức HAY và rất chặt! 1 tổng các phân thức của căn thức bị chặn bởi 2 số tự nhiên liên tiếp!