Đường thẳng EF cắt 2 dường thẳng AB , CD lần lượt tại M , N . Bết \(\widehat{AME}=3\widehat{EMB}\) và \(\widehat{AME}+\widehat{EMB}+\widehat{MND}=225^0\)
Xác định quan hệ giữa 2 đường thẳng AB và CD
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\widehat{AMB}=\widehat{AME}+\widehat{EMB}=3\widehat{EMB}+\widehat{EMB}=4\widehat{EMB}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{EMB}=180^o:4=45^o\)
Ta có
\(\widehat{AME}+\widehat{EMB}+\widehat{MND}=\widehat{AMB}+\widehat{MND}=225^o\)
\(\Rightarrow180^o+\widehat{MND}=225^o\Rightarrow\widehat{MND}=225^o-180^o=45^o\)
Gọi O là giao của AB và CD xét tg OMN có
\(\widehat{MON}=180^o-\left(\widehat{EMB}+\widehat{MND}\right)=180^o-\left(45^o+45^o\right)=90^o\)
\(\Rightarrow AB\perp CD\)
Ta có: AME ^ + EMB ^ = 180 ∘ (hai góc kề bù)
Mà AME ^ = 3 EMB ^
⇒ 3 EMB ^ + EMB ^ = 180 ∘
⇒ 4 EMB ^ = 180 ∘
⇒ EMB ^ = 180 ∘ : 4
⇒ EMB ^ = 45 ∘ (1)
Ta có: AME ^ + EMB ^ + MND ^ = 225 ∘
⇒ 180 ∘ + MND ^ = 225 ∘
⇒ MND ^ = 225 ∘ − 180 ∘
⇒ MND ^ = 45 ∘ (2)
Từ (1) và (2) suy ra EMB ^ = MND ^ mà hai góc này ở vị trí đồng vị
AB // CD
a) Ta có: đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên \(a \bot AB;a \bot CD\).
Suy ra: AB // CD.
b) Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD. Suy ra: MD = MC.
Xét tam giác vuông MNC và tam giác vuông MND có: ND = NC; MD = MC.
Vậy \(\Delta MNC = \Delta MND\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông).
c) \(\Delta MNC = \Delta MND\)nên \(\widehat {CMN} = \widehat {DMN}\).
Mà \(\widehat {AMN} = \widehat {BMN} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AMN} - \widehat {DMN} = \widehat {BMN} - \widehat {CMN}\).
Vậy \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\).
d) Xét hai tam giác AMD và BMC có:
MA = MB;
\(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\);
MD = MC.
Vậy \(\Delta MAD = \Delta MBC\)(c.g.c). Suy ra: \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\) (cặp cạnh và góc tương ứng).
e) \(\Delta MAD = \Delta MBC\) nên \(\widehat {ADM} = \widehat {BCM}\) (2 góc tương ứng).
\(\Delta MNC = \Delta MND\) nên \(\widehat {MCN} = \widehat {MDN}\) (2 góc tương ứng).
Vậy \(\widehat {ADM} + \widehat {MDN} = \widehat {BCM} + \widehat {MCN}\) hay \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\).