cho a,b,c>0/ chứng minh rằng
\(A=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{16c}{a+b}\ge6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 10 2017
đề có sai 1 chút nha bạn :
đề phải là \(a;b;c>0\) : \(CMR\) \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{16c}{a+b}\ge6\) mới đúng
giải
đặt : \(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{16c}{a+b}\)
ta có : \(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{16c}{a+b}\)
\(P=\left(\dfrac{a}{b+c}+1\right)+\left(\dfrac{9b}{a+c}+9\right)+\left(\dfrac{16c}{a+b}+16\right)-26\)
\(P=\left(\dfrac{a+b+c}{b+c}\right)+\left(\dfrac{9b+9a+9c}{a+c}\right)+\left(\dfrac{16c+16a+16b}{a+b}\right)-26\)\(P=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{9}{a+c}+\dfrac{16}{a+b}\right)-26\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{9}{a+c}+\dfrac{16}{a+b}\right)-26\)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
ta có :
\(\left(\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{9}{a+c}+\dfrac{16}{a+b}\right)\ge\left(\sqrt{1}+\sqrt{9}+\sqrt{16}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{9}{a+c}+\dfrac{16}{a+b}\right)\ge64\)
\(\Leftrightarrow\) \(P=\dfrac{1}{2}\left(\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{9}{a+c}+\dfrac{16}{a+b}\right)-26\ge\dfrac{1}{2}.64-26\)
\(\Leftrightarrow P\ge6\)vậy \(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{9b}{a+c}+\dfrac{16c}{a+b}\ge6\) (đpcm)
dấu "=" xảy ra khi \(b+c=\dfrac{a+c}{9}=\dfrac{a+b}{16}\)
1 tháng 10 2017
Mình đặt bằng A cho dễ tính nha
A=a/b+a/c+b/c+b/a+c/b+c/a
Áp dụng bst cosi ta có:
a/b+b/a\(\ge\)2√(a.b/b.a)=2
Tươn tự ta chứng minh được
a/c+c/a\(\ge\)2
b/c+c/b\(\ge\)2
Suy ra
A\(\ge\)6
KK
26 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky
\(\Rightarrow\sqrt{\left(\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{9b^2}{2}+\dfrac{c^2a^2}{4}\right)\left[\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(3\sqrt{2}\right)^2+2^2\right]}\ge\left(\sqrt{\dfrac{4}{a}+9b+ca}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{6}\sqrt{\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{9b^2}{2}+\dfrac{c^2a^2}{4}}\ge\dfrac{4}{a}+9b+ac\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{6}\sqrt{\left(\dfrac{8}{b^2}+\dfrac{9c^2}{2}+\dfrac{a^2b^2}{4}\right)}\ge\dfrac{4}{b}+9c+ab\\2\sqrt{6}\sqrt{\left(\dfrac{8}{c^2}+\dfrac{9a^2}{2}+\dfrac{b^2c^2}{4}\right)}\ge\dfrac{4}{c}+9a+bc\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\sqrt{6}S\ge\dfrac{4}{a}+9a+\dfrac{4}{b}+9b+\dfrac{4}{c}+9c+ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{6}S\ge\dfrac{4}{a}+a+8a+\dfrac{4}{b}+b+8b+\dfrac{4}{c}+c+8c+ab+bc+ca\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a}+a\ge2\sqrt{4}=4\\\dfrac{4}{b}+b\ge2\sqrt{4}=4\\\dfrac{4}{c}+c\ge2\sqrt{4}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{a}+a+8a+\dfrac{4}{b}+b+8b+\dfrac{4}{c}+c+8c+ab+bc+ca\ge12+8a+8b+8c+ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow2\sqrt{6}S\ge12+8a+8b+8c+ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{6}S\ge12+2a+bc+2b+ac+2c+ab+6\left(a+b+c\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow2a+bc\ge2\sqrt{2abc}\)
Tượng tự ta có \(2b+ac\ge2\sqrt{2abc}\) ; \(2c+ab\ge2\sqrt{2abc}\)
\(\Rightarrow12+2a+bc+2b+ac+2c+ab+6\left(a+b+c\right)\ge6\left(a+b+c+\sqrt{2abc}\right)+12\)
\(\Rightarrow2\sqrt{6}S\ge6\left(a+b+c+\sqrt{2abc}\right)+12\)
Theo đề bài ta có \(a+b+c+\sqrt{2abc}\ge10\)
\(\Rightarrow6\left(a+b+c+\sqrt{2abc}\right)+12\ge72\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{72}{2\sqrt{6}}=6\sqrt{6}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=2\)
7 tháng 8 2017
Bài 3:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM có:
\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{z}}\)
\(=2+2+2=6\)
Dấu " = " khi x = y = z = 1
Vậy...
T
7 tháng 8 2017
3. Với x,y,z>0 áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)
\(=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)+\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{z}}=2+2+2=6\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{x}\\y=\dfrac{1}{y}\\z=\dfrac{1}{z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
1. Với a=b=c=0, ta thấy BĐT trên đúng
Với a,b,c>0 áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương
\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3.a^3.b^3}=3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\) (1)
\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^3.b^3.c^3}=3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\) (2)
\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^3.c^3.a^3}=3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:
\(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a>\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{3}\) (vì a,b,c>0)
Do đó BĐT trên đúng \(\forall a,b,c\ge0\)
HN
7 tháng 8 2017
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+1=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ca}+\dfrac{b^2}{b^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+2b+c\right)}{ab+bc+ca+b^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right)}{\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(b+c\right)}{a+b}+2\)
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)}{\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(b+c\right)}{a+b}+1\)
2 tháng 6 2017
Đặt \(\dfrac{a}{b}=x;\dfrac{b}{c}=y;\dfrac{c}{a}=z\). Dễ thấy rằng
\(\dfrac{a+c}{b+c}=\dfrac{1+xy}{1+y}=x+\dfrac{1-x}{1+y}\)
Thiếp lập các hệ thức tương tự, bài toán trở về chứng minh với \(xyz=1\) có:
\(\dfrac{x-1}{y+1}+\dfrac{y-1}{z+1}+\dfrac{z-1}{x+1}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(z+1\right)+\left(y^2-1\right)\left(x+1\right)+\left(z^2-1\right)\left(y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2z+z^2y+y^2x+x^2+y^2+z^2\ge x+y+z+3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2z+z^2y+y^2x\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^3}=3\)
Vậy còn phải chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge x+y+z\)
Điều này đúng vì \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge x+y+z\)
ND
30 tháng 6 2018
Bài 2:
Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\), ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\) (1)
Lại áp dụng tương tự ta có:
\(\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
ND
30 tháng 6 2018
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô -si, ta có:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b^3}.\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{3}{b}\)
\(\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\sqrt[3]{\dfrac{b^2}{c^3}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{3}{c}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{a^3}.\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}}=\dfrac{3}{a}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{a^2}{a^3}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{c^2}{a^3}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
p/s: không chắc lắm, có gì sai xót xin giúp đỡ
26 tháng 7 2018
Link: https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100612215240AA1bp3C