Question

[Họ Tên]

giải phương trình nghiệm nguyên 2^x + 5^y = 19^z

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

TH1: \(x,y,z\geq 0\)

Ta có: \(2^x+5^y\equiv (-1)^x+(-1)^y\pmod 3\)

\(19^z\equiv 1\pmod 3\Rightarrow (-1)^x+(-1)^y\equiv 1\pmod 3\)

Do đó \(x,y\) cùng lẻ

Vì $y$ lẻ nên \(y\geq 1\Rightarrow 19^z-2^x=5^y\equiv 0\pmod 5\)

\(\Leftrightarrow (-1)^z-2^x\equiv 0\pmod 5\) \(\Leftrightarrow (-1)^z\equiv 2^x\pmod 5\)

Vì \(x\) lẻ nên xét hai dạng của $x$

\(x=4k+1\Rightarrow 2^x= 2^{4k+1}\equiv 2\pmod 5\)

\(x=4k+3\Rightarrow 2^x=2^{4k+3}\equiv 2^3\equiv 3\pmod 5\)

Do đó, \((-1)^z\equiv 2,3\pmod 5\) \((1)\)

Xét tính chẵn lẻ của \(z\) suy ra \((-1)^z\equiv \pm 1\pmod 5\Rightarrow (1)\) vô lý.

TH2: \(x,y,z< 0\)

Đặt \((x,y,z)=(-a,-b,-c)\Rightarrow a,b,c>0\)

PT tương đương: \(\frac{1}{2^a}+\frac{1}{5^b}=\frac{1}{19^c}\)

\(\Leftrightarrow 19^c(2^a+5^b)=2^a.5^b\)

\(\Rightarrow 19^c(2^a+5^b)\vdots 2^a\)

Nếu \(a\geq 1\), ta thấy \(19^c,2^a+5^b\) đều lẻ, do đó không thể chia hết cho \(2^a\)

Do đó \(a=0\) (vô lý vì \(a>0\))

TH3: \(x,y,z\) có sự trái dấu

Hai âm một dương, thì hiệu hoặc tổng của hai số có số mũ âm luôn nhỏ hơn số có mũ dương, do đó không thể xảy ra đẳng thức, kéo theo PT vô nghiệm.

Hai dương một âm:

Hiệu hoặc tổng của hai số mũ dương thì luôn là số nguyên, trong khi số có mũ âm (hệ số khác 1) luôn không là số nguyên , kéo theo mâu thuẫn.

Vậy PT vô nghiệm.