Chứng minh:
a5+b5+c5=-5abc(ab+bc+ca)
help me !!!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
1
4 tháng 9 2017
\(Ta có: a+b+c=0 ⇔(a+b)^5=(−c)^5 ⇔a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5=−c5 \)
\(⇔a^5+b^5+c^5=−5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)\)
\(⇔a^5+b^5+c^5=−5ab[(a+b)(a^2−ab+b^2)+2ab(a+b)]\)
\(⇔2(a^5+b^5+c^5)=5abc[a^2+b^2+(a^2+2ab+b^2)]\)
\(⇔2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)\)(đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
Đặt \(A=a^5+b^5+c^5\)
\(A-\left(a+b+c\right)=a^5-a+b^5-b+c^5-c\)
Ta có: \(B=a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Nếu \(a\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow B\) chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 1 hoặc -1 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) chia hết chi 5 \(\Rightarrow\)B chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 2 hoặc -2 \(\Rightarrow a^2+1\) chia 5 dư \(\left(\pm2\right)^2+1=5\Rightarrow a^2+1⋮5\Rightarrow B⋮5\)
Vậy \(B=a^5-a⋮5\) với mọi a nguyên
Hoàn toàn tương tự, \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 5 với mọi b; c
\(\Rightarrow A-\left(a+b+c\right)⋮5\Rightarrow A⋮5\) (đpcm)
(Có thể ngắn gọn hơn là \(a^5\equiv a\left(mod5\right)\Rightarrow a^5-a⋮5\) ; \(\forall a\in Z\))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)
Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)
b.
\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)
\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)
- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)
Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)
- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)
Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)
\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)
Áp dụng BĐT Schur:
\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)
\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
1. Đề sai với $a=1; b=0; c=-1$
2. Vì $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$. Khi đó:
$a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=-c^3+3abc+c^3=3abc$ (đpcm)
3. Đề sai.
$a^5+b^5+c^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)+c^5$
$=[(a+b)^2-2ab][(a+b)^3-3ab(a+b)]-a^2b^2(-c)+c^5$
$=[(-c)^2-2ab][(-c)^3-3ab(-c)]+a^2b^2c+c^5$
$=(c^2-2ab)(3abc-c^3)+a^2b^2c+c^5$
$=3abc^3-c^5-6a^2b^2c+2abc^3+a^2b^2c+c^5$
$=3abc^3-6a^2b^2c+2abc^3+a^2b^2c$
$=abc(5c^2-5ab)=5abc(c^2-ab)$
26 tháng 8 2021
2:Ta có: a+b+c=0
nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)
Ta có: a+b+c=0
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
Lời giải:
\(a^2+b^2+c^2=(a+b)^2-2ab+c^2=(-c)^2-2ab+c^2=2(c^2-2ab)\)
\(a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc\)
Do đó:
$2(a^2+b^2+c^2).3(a^3+b^3+c^3)=36abc(c^2-2ab)$
Mặt khác:
\(a^5+b^5+c^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)+c^5\)
\(=[(a+b)^2-2ab][(a+b)^3-3ab(a+b)]-a^2b^2(-c)+c^5\)
\(=(c^2-2ab)(-c^3+3abc)+a^2b^2c+c^5\)
\(=-c^5+3abc^3+2abc^3-6a^2b^2c+a^2b^2c+c^5\)
\(=5abc^3-5a^2b^2c=5abc(c^2-ab)\)
\(\Rightarrow 5(a^5+b^5+c^5)=25abc(c^2-ab)\)
Do đó 2 đẳng thức trên không bằng nhau.
NG
0
xem lại đề đi bạn :|
thiếu :v