Rút gọn:
a, A=\(\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
b, \(3x^n.\left(4x^{n-1}-1\right)-2x^{n+1}.\left(6x^{n-2}-1\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a. Biểu thức này không có khả năng rút gọn. Khai triển ra cũng được nhưng không làm gọn được bạn nhé.
b. $=(2x)^2-3^2-4x^2=4x^2-9-4x^2=-9$
c. $=(3x)^2+2.3x+1^2-(x^2-1)=9x^2+6x+1-x^2+1=8x^2+6x+2$
Lời giải:
a)
\(ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=ab(a-b)-bc(c-b)+ca(c-a)\)
\(=ab(a-b)-bc[(a-b)+(c-a)]+ca(c-a)\)
\(=ab(a-b)-bc(a-b)-bc(c-a)+ca(c-a)\)
\(=(a-b)(ab-bc)+(c-a)(ca-bc)\)
\(=(a-b)b(a-c)-(a-c).c(a-b)\)
\(=(a-b)(a-c)(b-c)\)
b)
\(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\)
\(=a^2(b-c)-b^2[(b-c)+(a-b)]+c^2(a-b)\)
\(=a^2(b-c)-b^2(b-c)-b^2(a-b)+c^2(a-b)\)
\(=(b-c)(a^2-b^2)-(b^2-c^2)(a-b)\)
\(=(b-c)(a-b)(a+b)-(b-c)(b+c)(a-b)\)
\(=(b-c)(a-b)(a+b-b-c)=(b-c)(a-b)(a-c)\)
c)
\(a^2(a+1)-b^2(b-1)+ab-3ab(a-b+1)\)
\(=a^3+a^2-b^3+b^2+ab-3ab(a-b)-3ab\)
\(=(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)+(a^2+b^2+ab-3ab)\)
\(=(a-b)^3+(a-b)^2=(a-b)^2(a-b+1)\)
Bài 1:
a, Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2=0\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=0\)
Vậy điều kiện để phân thức M được xác định là a, b, c không đồng thời = 0
b, Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
Đặt: \(a^2+b^2+c^2=x,ab+bc+ca=y\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2=x+2y\)
Ta cũng có:
\(M=\dfrac{x\left(x+2y\right)+y^2}{x+2y-y}=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{x+y}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\)
\(=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
Câu 1: \(3x+2\left(5-x\right)=0\)
\(\Rightarrow3x+10-2x=0\)
\(\Rightarrow x+10=0\)
\(\Rightarrow x=-10\).
Câu 2: \(2x\left(5-3x\right)+2x\left(3x-5\right)-3\left(x-7\right)=3\)
\(\Rightarrow2x\left(5-3x\right)-2x\left(5-3x\right)-3\left(x-7\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(2x-2x\right)\left(5-3x\right)-3\left(x-7\right)=3\)
\(\Rightarrow-3\left(x-7\right)=3\)
\(\Rightarrow x-7=-1\)
\(\Rightarrow x=6.\)
Câu 3:
Áp dụng hằng đẳng thức mở rộng có:
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc.\)
Câu 4: \(3x^2\left(3x^2-2y^2\right)-\left(3x^2-2y^2\right)\left(3x^2+2y^2\right)\)
\(=\left(3x^2-2y^2\right)\left[3x^2-\left(3x^2+2y^2\right)\right]\)
\(=\left(3x^2-2y^2\right)\left(-2y^2\right)\)
\(=-6x^2y^2+4y^3.\)
Câu 5:
Ta có: \(R=\left(2x-3\right)\left(4+6x\right)-\left(6-3x\right)\left(4x-2\right)\)
\(=\left(8x-12+12x^2-18x\right)-\left(24x-12x^2-12+6x\right)\)
\(=12x^2-10x-12-24x+12x^2+12-6x\)
\(=24x^2-40x.\)
Lời giải:
Do \(ab+bc+ac=1\) nên:
\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)
\(b^2+1=b^2+ab+bc+ac=(b+a)(b+c)\)
\(c^2+1=c^2+ab+bc+ac=(c+a)(c+b)\)
Do đó:
\(A=a\sqrt{\frac{(b^2+1)(c^2+1)}{a^2+1}}+b\sqrt{\frac{(a^2+1)(c^2+1)}{b^2+1}}+c\sqrt{\frac{(b^2+1)(a^2+1)}{c^2+1}}\)
\(=a\sqrt{\frac{(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)}{(a+b)(a+c)}}+b\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)(c+a)(c+b)}{(b+a)(b+c)}}+c\sqrt{\frac{(b+a)(b+c)(a+b)(a+c)}{(c+a)(c+b)}}\)
\(=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+bc+ac)=2\)
Vậy \(A=2\)
Thay \(ab+bc+ca=1\) ta có:
\(1+a^2=ab+bc+ca+a^2=b\left(c+a\right)+a\left(c+a\right)=\left(c+a\right)\left(a+b\right)\)
Tương tự: \(1+b^2=\left(b+c\right)\left(a+b\right);\) \(1+c^2=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)=\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}=1\). Vậy biểu thức đó rút gọn lại bằng 1.
\(VT=\frac{ab+bc+ca}{ab}+\frac{ab+bc+ca}{bc}+\frac{ab+bc+ca}{ca}\)
\(=3+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{a\left(b+c\right)}{bc}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\)(1)
Theo BĐT AM-GM: \(\frac{1}{2}\left[\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{a\left(b+c\right)}{bc}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b^2}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{2}\left[\frac{a\left(b+c\right)}{bc}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{c^2}}\)
\(\frac{1}{2}\left[\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+\frac{b\left(c+a\right)}{ca}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{a^2}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thay vào 1 ta sẽ thu được đpcm.
a: \(A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(=a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c+a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc+a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-ac^2\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc\)
b: \(=12x^{2n-1}-3x^n-12x^{2n-1}+2x^{n+1}\)
\(=-3x^n+2x^{n+1}\)