C= (1+\(\dfrac{x}{y}\)) . (1+\(\dfrac{x}{z}\)) (1+\(\dfrac{z}{x}\)) biết x+y+z =0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
19 tháng 12 2017
Chào bạn
bạn nhân chéo lên rồi tách ra thì bạn sẽ có
1/x+1/y+1/z=1/x+y+z tương đương với (x+y)(y+z)(x+z)=0
Đến đây thì dễ rồi
5 tháng 10 2018
\(\dfrac{x}{y+z+1}=\dfrac{y}{x+z+1}=\dfrac{z}{x+y-2}=\dfrac{x+y+z}{1}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{x}{y+z+1}=\dfrac{y}{x+z+1}=\dfrac{z}{x+y-2}=\dfrac{x+y+z}{1}=\dfrac{x+y+z}{\left(y+z+1\right)+\left(x+z+1\right)+\left(x+y-2\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{2x+2y+2z}\)
\(TH1:x+y+z=0\)
⇒ \(\dfrac{x+y+z}{1}=0\)
⇒ \(x=y=z=0\)(loại vì trái với điều kiện đề bài )
\(TH2:z+y+z\)≠ 0
⇒ \(\dfrac{x+y+z}{2x+2y+2z}=\dfrac{x+y+z}{2.\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x+y+z=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{x}{y+z+1}=\dfrac{1}{2}\) ⇒ \(2x=y+z+1\)⇒\(2x=y+z+2\left(x+y+z\right)=2x+3y+3z\)
⇒ \(3y+3z=0\) ⇒ \(y+z=0\) ⇒ \(2x=1\) ⇒ \(x=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{y}{x+z+1}=\dfrac{1}{2}\) ⇒ \(2y=x+z+1=x+z+2\left(x+y+z\right)=2y+3x+3z\)
⇒ \(3x+3z=0\) ⇒ \(x+z=0\) ⇒ \(2y=1\) ⇒ \(y=\dfrac{1}{2}\)
\(x+z=0\) ; \(x=\dfrac{1}{2}\)
⇒ \(z=0-\dfrac{1}{2}=\dfrac{-1}{2}\)
Vậy \(x=\dfrac{1}{2}\) ; \(y=\dfrac{1}{2}\) ; \(z=\dfrac{-1}{2}\)
12 tháng 1 2018
Ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2+3xyz-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+x^2z+xyz+y^2z+yz^2+xz^2+xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(xy+y^2+xz+yz\right)+z\left(y^2+yz+xz+xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left[y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)\right]+z\left[y\left(y+z\right)+x\left(y+z\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
* x = -y
\(\dfrac{1}{x^{2007}}+\dfrac{1}{y^{2007}}+\dfrac{1}{z^{2007}}=\dfrac{1}{x^{2007}}-\dfrac{1}{x^{2007}}+\dfrac{1}{z^{2007}}=\dfrac{1}{z^{2007}}\)(*)
\(\dfrac{1}{x^{2007}+y^{2007}+z^{2007}}=\dfrac{1}{x^{2007}-x^{2007}+z^{2007}}=\dfrac{1}{z^{2007}}\)(*)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\) đpcm
Tương tự xét y = -z và z = -x
Vậy nếu x, y, z khác 0 và x + y +z khác 0 thì \(\dfrac{1}{x^{2007}}+\dfrac{1}{y^{2007}}+\dfrac{1}{z^{2007}}=\dfrac{1}{x^{2007}+y^{2007}+z^{2007}}\).
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 12 2021
Lời giải:
Nếu $x+y+z=0$ thì:
$\frac{x+y-z}{z}=\frac{-z-z}{z}=-2$
$\frac{y+z-x}{x}=\frac{-x-x}{x}=-2$
$\frac{z+x-y}{y}=\frac{-y-y}{y}=-2$
(thỏa mãn đkđb)
Khi đó:
$P=(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$
$=\frac{(-z)(-x)(-y)}{xyz}=\frac{-xyz}{xyz}=-1$
Nếu $x+y+z\neq 0$
Áp dụng TCDTSBN:
$\frac{x+y-z}{z}=\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z+y+z-x+z+x-y}{z+x+y}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1$
$\Rightarrow x+y=2z; y+z=2x, z+x=2y$. Khi đó:
$P=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}=\frac{2z.2x.2y}{xyz}=8$
1 tháng 9 2017
Ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Rightarrow\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)
\(\Rightarrow xy=-yz-xz;yz=-xy-xz;xz=-xy-yz\)
Ta lại có: \(A=\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{y+z}{x}=\dfrac{x^2+xy}{xz}+\dfrac{z^2+xz}{yz}+\dfrac{y^2+yz}{xy}\)
\(=\dfrac{x^2-yz-xz}{xz}+\dfrac{z^2-xy-yz}{yz}+\dfrac{y^2-xy-xz}{xy}\)
\(=\dfrac{x\left(x-z\right)}{xz}-\dfrac{yz}{xz}+\dfrac{z\left(z-y\right)}{yz}-\dfrac{xy}{yz}+\dfrac{y\left(y-x\right)}{xy}-\dfrac{xz}{xy}\)
\(=\dfrac{x-z}{z}-\dfrac{y}{x}+\dfrac{z-y}{y}-\dfrac{x}{z}+\dfrac{y-x}{x}-\dfrac{z}{y}\)
\(=\dfrac{x-z-x}{z}+\dfrac{z-y-z}{y}+\dfrac{y-x-y}{x}=\dfrac{-z}{z}+\dfrac{-y}{y}+\dfrac{-x}{x}\)
\(=-1-1-1=-3\). Vậy A=-3
21 tháng 3 2022
từ đề bài ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(3+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{9}{4}\)
<=>\(\dfrac{3}{4}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
ta có \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{3}{4}+\dfrac{z+y}{4x}+\dfrac{x+z}{4y}+\dfrac{x+y}{4z}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(đpcm\right)\)Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\dfrac{1}{3}\)
Từ \(x+y+z=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(x+z\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{matrix}\right.\)
Và \(C=\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\)
\(=\dfrac{x+y}{y}\cdot\dfrac{y+z}{z}\cdot\dfrac{x+z}{z}\)
\(=\dfrac{-z}{y}\cdot\dfrac{-x}{z}\cdot\dfrac{-y}{z}=-\left(\dfrac{xyz}{xyz}\right)=-1\)
\(C=\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{x}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\)
\(C=\left(\dfrac{y}{y}+\dfrac{x}{y}\right)\left(\dfrac{z}{z}+\dfrac{x}{z}\right)\left(\dfrac{x}{x}+\dfrac{z}{x}\right)\)
\(C=\left(\dfrac{y+x}{y}\right)\left(\dfrac{z+x}{z}\right)\left(\dfrac{x+z}{x}\right)\)
\(C=\dfrac{\left(y+x\right)\left(z+x\right)\left(x+z\right)}{xyz}\)
Rồi ko bt j nx -.-