Cho xy + yz + zx = 1
C/m: \(x^4+y^4+z^4\ge\dfrac{1}{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 3 2018
Ta có: \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge9xyz\)
\(VT=\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+xz}+\dfrac{z}{1+xy}\)
\(=\dfrac{x^2}{x+xyz}+\dfrac{y^2}{y+xyz}+\dfrac{z^2}{z+xyz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\dfrac{\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)}{3}}\)
\(=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\). Cần chứng minh:
\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\)
BĐT cuối đúng vì \(x+y+z\ge\sqrt{3\left(xy+yz+xz\right)}=\sqrt{3}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Ps: nospoiler
14 tháng 8 2017
Ta chứng minh được
\(a^2+b^2+c^2\) ≥\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
A=\(x^4+y^4+z^4\) ≥ \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\) ≥ \(\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
=>\(x^4+y^4+z^4\) ≥ \(\dfrac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
Chúc Bạn Học Tốt
10 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{x^4}{y+3z}+\dfrac{y+3z}{16}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{x^4}{y+3z}\cdot\dfrac{y+3z}{16}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}}=x\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^4}{y+3z}\ge x-\dfrac{y+3z}{16}-\dfrac{1}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại:
\(\dfrac{y^4}{z+3x}\ge y-\dfrac{z+3x}{16}-\dfrac{1}{2};\dfrac{z^4}{x+3y}\ge z-\dfrac{x+3y}{16}-\dfrac{1}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{3}{4}\cdot3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
HN
11 tháng 6 2017
Cách khác:
\(\dfrac{x^4}{y+3z}+\dfrac{y^4}{z+3x}+\dfrac{z^4}{x+3y}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{4.\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}=\dfrac{\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)^3}}{4\sqrt{3}}\)
\(\ge\dfrac{\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^3}}{4\sqrt{3}}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 3 2018
Lời giải:
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \((a,b,c)=\left(\frac{1}{x}; \frac{1}{y}; \frac{1}{z}\right)\Rightarrow a+b+c=1\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(P=\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{1}{16}(*)\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}+\frac{a+1}{64}+\frac{b+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64^2}}=\frac{3c}{16}\)
\(\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64^2}}=\frac{3a}{16}\)
\(\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c+1}{64}+\frac{a+1}{64}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64^2}}=\frac{3b}{16}\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn :
\(\Rightarrow P+\frac{a+b+c+3}{32}\geq \frac{3(a+b+c)}{16}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{4}{32}\geq \frac{3}{16}\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{16}\)
Vậy \((*)\) được chứng minh. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=3\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2 y2 z2=3chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}} \dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}} \df... - Hoc24
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Cách khác:
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=3\sum \frac{x}{y+z+1}=3\sum \frac{x^2}{xy+xz+x}\)
\(\geq 3. \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq xy+yz+xz(*)\)
Đặt $x+y+z=a$ thì $xy+yz+xz=\frac{a^2-3}{2}$
Bằng BĐT AM-GM dễ thấy $\sqrt{3}< a\leq 3$
BĐT $(*)$ trở thành:
$\frac{3a^2}{a^2+a-3}\geq \frac{a^2-3}{2}$
$\Leftrightarrow a^4+a^3-12a^2-3a+9\leq 0$
$\Leftrightarrow (a-3)(a+1)(a^2+3a-3)\leq 0$
Điều này đúng với mọi $\sqrt{3}< a\leq 3$
Do đó BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
1 tháng 10 2021
Gọi \(A=\sum\dfrac{x^3}{\sqrt{y^2+3}}\)
Theo Holder: \(A.A.\left(\left(y^2+3\right)+\left(z^2+3\right)+\left(x^2+3\right)\right)\ge\left(x^3+y^3+z^3\right)^3\)
\(\Rightarrow A^2\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{x^2+y^2+z^2+9}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2+xy+yz+zx}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
Ta có đánh giá sau: \(x^3+y^3+z^3\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)
\(\Rightarrow A^2\ge\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\dfrac{x+y+z}{12}\ge\dfrac{\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{12}\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2019
Sửa lại đề: cho x, y, z dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}=1\)
Chứng minh \(A=\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{xz\left(1+y^2\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)
Giải:
Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ac=1\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{bc}\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)}}+\dfrac{\dfrac{1}{b}}{\sqrt{\dfrac{1}{ac}\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)}}+\dfrac{\dfrac{1}{a}}{\sqrt{\dfrac{1}{ab}\left(1+\dfrac{1}{c^2}\right)}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+1}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+ab+bc+ac}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b^2+ab+bc+ac}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+ab+bc+ac}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2019
Đề bài này có rất nhiều vấn đề, đầu tiên không có điều kiện x, y, z gì cả? Dương? Â? Bằng 0? Khác 0?
Sau nữa là chiều của BĐT cũng có vấn đề nốt, mình thử với \(x=y=2;z=\dfrac{4}{3}\) thì vế trái ra \(\dfrac{2+\sqrt{30}}{5}\) mà theo casio cho biết thì số này nhỏ hơn \(\dfrac{3}{2}\) , vậy BĐT cũng sai luôn
8 tháng 12 2023
Có \(VT=\dfrac{x^2}{x^3-xyz+2013x}+\dfrac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\dfrac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
(vì \(2013=3.671=3\left(xy+yz+zx\right)\))
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{x+y+z}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2-yz+2013}=\dfrac{1}{y^2-zx+2013}=\dfrac{1}{z^2-xy+2013}\)
\(\Leftrightarrow x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\) (với \(x,y,z>0\))
Vậy ta có đpcm.
VT
6 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT AM-GM, Ta có
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\le\dfrac{xyz}{2}\)
Mà \(xz\sqrt{y-2}\le\dfrac{xz\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\)
\(yx\sqrt{z-3}\le yx.\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{z-3}}{xyz}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz và AM-GM:
\(x^4+y^4+z^4\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\ge\dfrac{\left(xy+yz+xz\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)