CMR : Không có đa thức \(f(x)\) nào với hệ số nguyên nào \(f(7)=5\) và \(f\left(15\right)=9\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GL
0
10 tháng 3 2021
Ta có \(f\left(7\right)=15\Rightarrow f\left(7\right)-15=0\Rightarrow f\left(x\right)-15=P\left(x\right).\left(x-7\right)\)
\(\Rightarrow f\left(15\right)-15=P\left(x\right).8\Rightarrow-15=P\left(x\right).8\Rightarrow P\left(x\right)=\dfrac{-3}{4}\). (vô lí vì P(x) có các hệ số đều nguyên).
Vậy...
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
28 tháng 12 2017
Câu hỏi của trần manh kiên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo câu tương tự tại đây nhé.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 3 2021
Lời giải:
Đặt $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+..+a_nx^n$ với $a_i$ nguyên với $i=\overline{0,n}$
Ta có:
\(f(a)=a_0+a_1a+a_2a^2+...+a_na^n; f(b)=a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n\)
\(\Rightarrow f(a)-f(b)=a_1(a-b)+a_2(a^2-b^2)+...+a_n(a^n-b^n)\)
Dễ thấy: $a^j-b^j\vdots a-b$ với mọi $j\geq 1$ nên $f(a)-f(b)\vdots a-b$
Ta có đpcm.
28 tháng 2 2021
Giả sử \(f\left(x\right)=m_nx^n+m_{n-1}x^{n-1}+...+m_1x+m_0\) với \(m_0;m_1;...;m_n\in Z\).
Ta có \(f\left(a\right)-f\left(b\right)=m_n\left(a^n-b^n\right)+m_{n-1}\left(a^{n-1}-b^{n-1}\right)+...+m_1\left(a-b\right)\).
Dễ thấy tổng trên chia hết cho a - b với mọi a, b nguyên.
Vậy ta có đpcm.
9 tháng 12 2021
TK: Toán 8 - đa thức, chia hết | Cộng đồng Học sinh Việt Nam - HOCMAI Forum
28 tháng 2 2021
Đặt \(g\left(x\right)=32x-142\).
Ta có \(f\left(5\right)-g\left(5\right)=f\left(6\right)-g\left(6\right)=0\Rightarrow f\left(x\right)-g\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x-5\right)\left(x-6\right)\).
\(\Rightarrow f\left(11\right)=g\left(11\right)+Q\left(x\right).30=210+Q\left(x\right).30⋮30\).
28 tháng 2 2021
Mình làm theo kiểu khác để cho bạn rõ hơn:
Đặt \(g\left(x\right)=32x-142\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(5\right)=18\\g\left(6\right)=50\end{matrix}\right.\).
Đặt \(h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)\). Khi đó \(h\left(5\right)=f\left(5\right)-g\left(5\right)=18-18=0;h\left(6\right)=f\left(6\right)=g\left(6\right)=50-50=0\).
Do \(h\left(5\right)=h\left(6\right)=0\) nên \(h\left(x\right)\) chia hết cho hai đa thức \(x-5\) và \(x-6\) (đoạn này mình mong bạn hiểu).
Từ đó tồn tại Q(x) sao cho \(h\left(x\right)=\left(x-5\right)\left(x-6\right)Q\left(x\right)\).
Suy ra \(f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)=32x-142+\left(x-5\right)\left(x-6\right)Q\left(x\right)\Rightarrow f\left(11\right)=32.11-142+5.6.Q\left(x\right)=210+30.Q\left(6\right)\).
Do f(x) có các hệ số nguyên, g(x) có các hệ số nguyên nên h(x) cũng có các hệ số nguyên.
Do đó Q(x) cũng có các hệ số nguyên.
Suy ra \(f\left(6\right)=210+30.Q\left(x\right)⋮30\).
NP
0
Giả sử đa thức \(f\left(x\right)\) có hệ số nguyên là :
\(f\left(x\right)=a_1x^n+a_2x^{n-1}+a_3x^{n-2}+.....+a_{k1}x+ak\)
\(f\left(7\right)=5\) \(;\) \(f\left(15\right)=9\)
\(\Rightarrow\)\(f\left(7\right)=a_17^n+a_27^{n-1}+a_37^{n-2}+.....+a_{k1}7+ak=5\)
\(\Rightarrow\)\(f\left(15\right)=a_115^n+a_215^{n-1}+a_315^{n-2}+.....+a_{k1}15+ak=9\)
\(\Rightarrow f\left(15\right)-f\left(7\right)=a_1\left(15^n-7^n\right)+a_2\left(15^{n-1}-7^{n-1}\right)+...+\left(a_k-a_k\right)=4\)
Xét vế trái : \(15^n-7^n⋮8\)
\(15^{n-1}-7^{n-1}⋮8\)
\(---------\)
Vậy vế trái chia hết cho 8. Còn vế phải \(4⋮̸8\)
Vậy không có đa thức nào có hệ số nguyên nào mà \(f\left(7\right)=5;f\left(15\right)=9\)
Giả sử tồn tại đa thức với hệ số nguyên f(x) thỏa mãn
f(7) = 5; f(15) = 9, khi đó
\(\left[f\left(15\right)-f\left(7\right)\right]⋮\left(15-7\right)=8\)
\(\Rightarrow\left(9-5\right)⋮8\)
\(\Rightarrow4⋮8\) (vô lý)
Vậy không có đa thức f(x) với hệ số nguyên nào có thể có giá trị f(7) = 5 và f(15) = 9